[論文レビュー] A diagrammatic representation of an affine $C$ Temperley--Lieb algebra

Dana C. Ernst|ArXiv.org|May 27, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$C$型アフィン Temperley–Lieb代数を、$\widetilde{C}_n$ 型コクセター群の完全可換な元によって添字づけられた基底を用いて、無限ランクの結合的代数として図式的表現として構成する。$W(B_n)$ および $W(\widetilde{C}_n)$ における弱いスター不可約元の分類を通じて、帰納的議論を用いて図式的準同型の忠実性を確立し、有限ランクの場合に適用可能な有限数え上げ技法が存在しないにもかかわらず、単射性を証明する。

ABSTRACT

In this thesis, I present an associative diagram algebra that is a faithful representation of a particular Temperley--Lieb algebra of type affine $C$, which has a basis indexed by the fully commutative elements of the Coxeter group of the same type. The Coxeter group of type affine $C$ contains an infinite number of fully commutative elements, and so the corresponding Temperley--Lieb algebra is of infinite rank. With the exception of type affine $A$, all other generalized Temperley--Lieb algebras with known diagrammatic representations are of finite rank. In the finite rank case, counting arguments are employed to prove faithfulness, but these techniques are not available in the affine $C$ case. To prove faithfulness, I classify the fully commutative elements in Coxeter groups of types $B$ and affine $C$ that are irreducible under weak star reductions. The classification of these irreducible elements provides the groundwork for inductive arguments that are used to prove faithfulness. The classification of the weak star irreducible elements of type $B$ also verifies C.K. Fan's unproved claim about about the set of fully commutative elements in a Coxeter group of type $B$ having no generator appearing in the left or right descent set that can be left or right cancelled, respectively. The results of this thesis will be used to construct a trace on the Hecke algebra of type affine $C$, which will then be used to compute leading coefficients of certain Kazhdan--Lusztig polynomials in a non-recursive way.

研究の動機と目的

• アフィン $C$ Temperley–Lieb代数の図式的実現を提供すること。これは、$W(\widetilde{C}_n)$ に無限個の完全可換元が存在するため、無限ランクである。
• 標準的な数え上げ手法が無限ランク代数の忠実性を示す際に限界に達することを克服するため、弱いスター不可約元の分類を開発すること。
• C.K. ファンの未解決の主張、すなわち $W(B_n)$ における完全可換元が左/右降下集合に取り消し可能な生成子を持たないという主張を、この分類を用いて検証すること。
• Kazhdan–Lusztig多項式を再帰的でない方法で計算するための、$\widetilde{C}_n$ 型ヘッケ代数にトレースを構成する基盤を築くこと。
• 図式代数 $\mathbb{D}_n$ が許容可能な図式によって添字づけられた基底をなしており、Temperley–Lieb代数の忠実な表現が保証されることを確立すること。

提案手法

• 組合せ的還元とヒープ表現を用いて、$W(B_n)$ および $W(\widetilde{C}_n)$ における弱いスター不可約元を分類する。
• 装飾付き擬図式から構成される図式代数 $\mathbb{D}_n$ を定義し、単純な図式を乗法規則で合成して図式を構築する。
• $\mathrm{TL}(\widetilde{C}_n) \to \mathbb{D}_n$ なる準同型 $\theta$ を定義し、単項式を許容可能な図式へ写像する。
• 不可約元に基づく帰納的議論を用いて、異なる単項式が異なる図式へ写像されることを証明し、単射性を保証する。
• Bergmanのダイヤモンド補題を適用して、$\mathbb{D}_n$ における許容可能な図式の集合が基底をなすことを検証する。
• ヒープ表現および凸部分ヒープの性質を活用して、図式内の辺構造および装飾配置を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限ランクのアフィン $C$ Temperley–Lieb代数に対して、忠実な図式的表現をどのように構成できるか。
• RQ2 弱いスター不可約元の完全な分類は $W(B_n)$ および $W(\widetilde{C}_n)$ においてどのように行われ、忠実性の確立にどのように寄与するか。
• RQ3 C.K. ファンの $W(B_n)$ における完全可換元が左/右降下集合に取り消し可能な生成子を持たないという未解決の主張は、この分類を用いて検証可能か。
• RQ4 図式代数 $\mathbb{D}_n$ と $\mathrm{TL}(\widetilde{C}_n)$ の単項式基底との関係は何か。また、その線形独立性を保証するのはどのような要因か。
• RQ5 図式の構造的性質（例：辺の接続性、装飾配置）は、$\theta$ の単射性に必要な十分条件であるか。

主な発見

• 図式代数 $\mathbb{D}_n$ が $\mathrm{TL}(\widetilde{C}_n)$ の忠実な表現であることが示され、準同型 $\theta$ は単射である。
• $W(B_n)$ における弱いスター不可約元の分類により、C.K. ファンの主張が確認され、左/右降下集合に取り消し可能な生成子が存在しないことが裏付けられた。
• $\mathbb{D}_n$ における許容可能な図式の集合は基底をなし、$\mathrm{TL}(\widetilde{C}_n)$ の各単項式が一意に対応する許容可能な図式に写像される。
• $\theta$ の単射性は、不可約元に基づく帰納的還元議論によって確立され、有限数え上げ技法を回避した。
• 値 $\mathbf{a}$ が 0 である図式は、ループを含んでも装飾が施されない。これは改訂版で明確に述べられている。
• 単一の $\blacktriangle$ がノード 1 から $1'$ へ伝搬する辺を持つ図式は、タイプ I または II でない不可約元から生じえないことが証明され、そのような図式が出現すると矛盾が生じる。