[論文レビュー] A diameter bound for Sasaki manifolds with application to uniqueness for Sasaki-Einstein structure

Yasufumi Nitta, Ken'ichi Sekiya|ArXiv.org|May 31, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、正の横断的リッチ曲率をもつ完全なササキ多様体に対して、マイヤーズ型の直径上限を確立し、直径が $ 2\tau^{-1/2} \pi \sqrt{2n-1} $ 以下であることを証明する。ここで $ \tau $ は横断的リッチ曲率の下界である。応用として、横断的正則構造の自己同型群の単位成分による作用を除いて、コンパクトなササキ多様体上のササキ・アインシュタイン計量の一意性を示し、バンドーとマブッチのアプローチにインspiredされた変分法を用いて、トーリックの場合を超えて既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we give a diameter bound for Sasaki manifolds with positive transverse Ricci curvature. As an application, we obtain the uniqueness of Sasaki-Einstein metrics on compact Sasaki manifolds modulo the action of the identity component of the automorphism group for the transverse holomorphic structure.

研究の動機と目的

• 正の横断的リッチ曲率をもつ完全なササキ多様体に対する直径上限を確立し、マイヤーズの定理をササキ設定に拡張すること。
• 与えられたササキ構造に適合するすべてのササキ・アインシュタイン計量の集合における、横断的正則構造の自己同型群の単位成分による作用を除く一意性を証明すること。
• 先行の一意性結果で用いられていたトーリック仮定を除去し、ケーラー幾何における変分法を応用すること。
• バンドーとマブッチの議論を、ササキ多様体の横断的ケーラー設定に一般化すること。

提案手法

• サブリーマン幾何における最小化正規測地線の変分公式を用いて、マイヤーズ型の直径上限を導出する。
• リーブ foliation 上の横断的ケーラー構造を用いて、横断的リッチ曲率および曲率の下界を定義する。
• 横断的複素構造と基本的ケーラー潜在関数を用いて、ケーラー幾何に類似した関数 $ I_{\eta} $, $ J_{\eta} $, および $ M_{\eta} $ を定義する。
• 関数 $ L $, $ M $, $ I $, $ J $ が基本関数の定数項の変動に対して、1-コサイクル条件および不変性を満たすことを確立する。
• 横断的ケーラーエネルギー関数 $ M_{\eta} $ と $ C^0 $-推定の道具立てを、微分方程式 $ \frac{d}{dt}(I_{\eta} - J_{\eta}) = \frac{1}{V} \int_S \varphi_t \Box_t \dot{\varphi}_t \, (\frac{1}{2}d\eta_{\varphi_t})^n \wedge \eta_{\varphi_t} $ を用いて適用する。
• $ I_{\eta} $, $ J_{\eta} $, および $ I_{\eta} - J_{\eta} $ の非負性および不等式関係を用いて、幾何を制御し、一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の横断的リッチ曲率をもつ完全なササキ多様体の直径に対する鋭い上界は何か？
• RQ2 トーリック対称性を仮定しないで、ササキ・アインシュタイン計量の一意性を確立できるか？
• RQ3 ケーラー・アインシュタイン計量に対するバンドーとマブッチの議論を、ササキ多様体の横断的ケーラー設定にどのように適応できるか？
• RQ4 横断的ケーラーエネルギーと基本的ケーラー潜在関数関数は、ササキ・アインシュタイン構造の幾何を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 横断的リッチ曲率が $ \tau > 0 $ で下から有界な完全なササキ多様体について、$ \text{diam}(S,g) \leq 2\pi \sqrt{\frac{2n-1}{\tau}} $ が成り立つ。
• 横断的正則構造の自己同型群の単位成分は、与えられたササキ構造に適合するすべてのササキ・アインシュタイン計量の集合に推移的に作用する。
• トーリック対称性の仮定なしに一意性結果が成り立つことが示され、チョウ、フタキ、オノによる先行結果が一般化される。
• $ I_{\eta} $, $ J_{\eta} $, および $ M_{\eta} $ は、$ 0 \leq I_{\eta}(\varphi) \leq (n+1)(I_{\eta}(\varphi) - J_{\eta}(\varphi)) \leq nI_{\eta}(\varphi) $ といった重要な恒等式および不等式を満たし、$ C^0 $-推定に不可欠である。
• 基本的ポテンシャルの経路に沿った関数 $ I_{\eta} - J_{\eta} $ の時間発展は、方程式 $ \frac{d}{dt}(I_{\eta} - J_{\eta}) = \frac{1}{V} \int_S \varphi_t \Box_t \dot{\varphi}_t \, (\frac{1}{2}d\eta_{\varphi_t})^n \wedge \eta_{\varphi_t} $ で支配される。