[論文レビュー] A dichotomy for minimal hypersurfaces in manifolds thick at infinity

Antoine Song|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 47被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2 ≤ n ≤ 6 である完備な (n+1) 次元リーマン多様体で無限遠で厚いものについて、最小超曲面のゼロ-インフィニティ二分法を確立する。すなわち、閉じた埋め込み最小超曲面（n体積汎関数の鞍点）が無限個存在するか、まったく存在しないかのどちらかである。この結果は、最小超曲面の豊富さに関するYauの予想を、min-max理論とGromovの存在結果を活用することで非コンパクトな状況へ一般化し、このような多様体は無限個の最小超曲面を含むか、あるいはコンパクト領域を厳密に平均凸なファイブレーションで覆うことを示している。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be a complete $(n+1)$-dimensional Riemannian manifold with $2\leq n\leq 6$. Our main theorem generalizes the solution of S.-T. Yau's conjecture on the abundance of minimal surfaces and builds on a result of M. Gromov. Suppose that $(M,g)$ has bounded geometry, or more generally is thick at infinity. Then the following dichotomy holds for the space of closed hypersurfaces in $M$: either there are infinitely many saddle points of the $n$-volume functional, or there is none. Additionally, we give a new short proof of the existence of a finite volume minimal hypersurface in finite volume manifolds, we check Yau's conjecture for finite volume hyperbolic 3-manifolds and we extend the density result due to Irie-Marques-Neves when $(M,g)$ is shrinking to zero at infinity.

研究の動機と目的

• 非コンパクトなリーマン多様体における最小超曲面の豊富さに関するYauの予想を、最小超曲面のゼロ-インフィニティ二分法を確立することで非コンパクトな状況へ一般化すること。
• Gromovの有限体積最小超曲面の存在結果を、無限遠で厚い多様体の設定へ拡張すること。
• 有限体積多様体における有限体積最小超曲面の存在を示す、新たな短い証明を提供すること。
• 有限体積の双曲的3次元多様体に対してYauの予想を検証すること。
• Irie-Marques-Nevesの密度結果を、無限遠でゼロに収束する多様体へ拡張すること。

提案手法

• 本稿は、無限遠で厚い多様体におけるn体積汎関数のmin-max理論を適用し、シリンダーヘッドを有する非コンパクトな設定における局所的構成を用いる。
• 著者らは、有限体積最小超曲面が存在するか、あるいはコンパクト領域を厳密に平均凸なファイブレーションで覆うかのいずれかであるGromovの結果を活用する。
• 変分法的収束とAlmgren-Pittsのmin-max理論を用いて、スイープアウトの極限として最小超曲面を構成する。
• 平均曲率流れのレベルセット流の定式化を用いて、平均凸集合の長期的挙動とその安定最小超曲面への収束を分析する。
• 証明は、レベルセット流の正則性および単調性の性質に依拠しており、特異集合のハウスドルフ次元がn−1以下であるという事実も含む。
• 重要な技術的ステップとして、最小超曲面がGromov–Hausdorff収束下で厳密に安定な境界成分に収束することはできないことの証明を行い、内部への支持を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界幾何的性質を有するか、あるいは無限遠で厚い多様体におけるコンパクト多様体における最小超曲面の豊富さは、非コンパクト多様体へ拡張可能か？
• RQ2 非コンパクト多様体における閉じた埋め込み最小超曲面の個数に関して、ゼロ-インフィニティ二分法を確立できるか？
• RQ3 無限遠での厚さ条件が最小超曲面の存在を制御する役割を果たすか？
• RQ4 コンパクト多様体と非コンパクト多様体において、n体積汎関数の臨界点の挙動はどのように異なるか？
• RQ5 Irie-Marques-Nevesの密度定理を、無限遠でゼロに収束する多様体へ拡張可能か？

主な発見

• 任意の完備な (n+1) 次元リーマン多様体で 2 ≤ n ≤ 6 かつ無限遠で厚いものについて、閉じた埋め込み最小超曲面の空間は、n体積汎関数の鞍点を無限個含むか、まったく含まないかのどちらかである。
• 本稿は、任意の有限体積の完備なリーマン多様体において、有限体積最小超曲面が存在することを示す、新たな短い証明を提供する。
• Yauの予想は、有限体積の双曲的3次元多様体において確認され、それらは無限個の最小曲面を含む。
• Irie-Marques-Nevesの密度結果は、無限遠でゼロに収束する多様体へ拡張され、この設定において最小超曲面が稠密であることが示された。
• 無限遠で厚い多様体において、閉じた最小超曲面が存在しない場合、任意のコンパクト領域が厳密に平均凸なファイブレーションで覆われる。
• min-max理論による構成で得られる極限変分法的測度は、定義域の内部に台を持ち、2面であるか索引1、または1面であるかのいずれかであり、埋め込み性と安定性を保証する。