[論文レビュー] Existence of infinitely many minimal hypersurfaces in closed manifolds

Antoine Song|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 46

ひとこと要約

本論文は、次元が3から7の任意の閉リーマン多様体において、滑らかに埋め込まれた閉じた最小ハイパー曲面が無限に存在することを証明し、min-max理論を介してYauの予想を解決する。

ABSTRACT

Using min-max theory, we show that in any closed Riemannian manifold of dimension at least 3 and at most 7, there exist infinitely many smoothly embedded closed minimal hypersurfaces. It proves a conjecture of S.-T. Yau. This paper builds on the methods developed by F. C. Marques and A. Neves.

研究の動機と目的

• 高次元における面積汎関数の臨界点としての最小ハイパー曲面の構成を動機づけ、取り組む。
• 幾何学的に識別可能な最小ハイパー曲面を得るために、一般的でない計量を超えてmin-max法を拡張する。
• Frankel型の設定やコア境界議論を用いて、最小ハイペル曲面の数が無限であることを示す。
• 円筒形の端部構成を用いて、コンパクトなコア内へmin-maxハイパースペースを局在化する枠組みを提供する。

提案手法

• 3–7次元でAlmgren–Pitts型のmin-max理論を適用して最小ハイパースペースを生成する。
• 安定な境界を持つコアUから非完結的な円筒端C(U)を構築し、min-max曲面をU内に固定する。
• 端に対する幅ω_pの線形漸近挙動を示す円筒状の Weyl 法則を展開する。
• 幅を最小ハイパースペースの面積の整数倍に関連づけ、有限個しか存在しない場合には矛盾を導く。
• メトリック摂動下のベリオーヴァルドの補助的な積分性結果を用いて極限が整数値となり滑らかな最小ハイパースペースに対応することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元3–7の閉多様体には滑らかな埋め込み型の閉最小ハイパースペースが無限に存在するのか？
• RQ2 幾何学的に識別可能な最小ハイパースペースを、重複度の曖昧さなくmin-max理論を適用して生成できるのか？
• RQ3 これまでの一般的でない計量の結果を非一般的な計量へ一般化してもYauの予想を得られるのか？
• RQ4 円筒端の構成とWeyl型法則がmin-max幅の線形成長を保証する上でどのような役割を果たすのか？

主な発見

• 次元3–7の任意の閉多様体には滑らかに埋め込まれた閉最小ハイパースペースが無限に存在する。
• 非完結的な円筒端の枠組みと体積スペクトラムの円筒状Weyl法則に基づく構成である。
• 幅ω_pはpとともに線形に増加し、コア内に有限個の最小ハイパースペースしか存在しないと仮定すると矛盾が生じる。
• 安定な最小ハイパースペースに沿って切断し、Frankel型性質を持つコアを分析することで、内部の有限な最小ハイパースペースの族を排除する。
• 結果はMarques–Nevesの方法を拡張しており、この領域でGenericな計量を必要とせずYauの予想を得ることが可能である。
• 副次的な結果として、特定の条件（例：bumpy metrics）下では、無限に多くの最小ハイパースペースが局所的にも現れる。