[論文レビュー] A diffusive logistic problem with a free boundary in time-periodic environment: favorable habitat or unfavorable habitat

Qiaoling Chen, Fengquan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2014

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間周期的環境における自由境界を伴う拡散的ロジスティック方程式を研究し、侵入種の拡散と消滅のダイナミクスを分析する。主固有値基準を用いて、拡散-消滅二分法を確立する：主固有値 $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T) \leq 0$ ならば拡散が発生し、それ以外の場合は拡散が可能である。漸近的拡散速度は、拡散率および個体群パラメータを含む導出関数の時間平均によって定まる。

ABSTRACT

We study the diffusive logistic equation with a free boundary in timeperiodic environment. To understand the effect of the dispersal rate $d$, the original habitat radius $h_0$, the spreading capability $μ$, and the initial density $u_0$ on the dynamics of the problem, we divide the time-periodic habitat into two cases: favorable habitat and unfavorable habitat. By choosing $d$, $h_0$, $μ$ and $u_0$ as variable parameters, we obtain a spreading-vanishing dichotomy and sharp criteria for the spreading and vanishing in time-periodic environment. We introduce the principal eigenvalue $λ_1(d, α, γ, h(t), T)$ to determine the spreading and vanishing of the invasive species. We prove that if $λ_1(d, α, γ, h_0, T)\leq 0$, the spreading must happen; while if $λ_1(d, α, γ, h_0, T)> 0$, the spreading is also possible. Our results show that the species in the favorable habitat can establish itself if the dispersal rate is slow or the occupying habitat is large. In an unfavorable habitat, the species vanishes if the initial density of the species is small, while survive successfully if the initial value is big. Moreover, when spreading occurs, the asymptotic spreading speed of the free boundary is determined.

研究の動機と目的

• 時間周期的環境における分散率 $d$、初期生息地サイズ $h_0$、拡散能力 $\mu$、初期密度 $u_0$ が種の存続に与える影響を理解すること。
• 時間周期的係数 $\alpha(t,r)$、$\gamma(t,r)$、$\beta(t,r)$ を用いて、生息地を有利または不利に分類すること。
• 拡散-消滅二分法を確立し、長期的な種の存続または絶滅の鋭い基準を導出すること。
• 拡散が発生する際の自由境界の漸近的拡散速度を特定すること。
• 主固有値 $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T)$ を導入し、種の運命の主要な決定要因として分析すること。

提案手法

• 径対称性を仮定した時間周期的係数を伴う拡散的ロジスティック方程式の自由境界問題を定式化する。
• 主固有値 $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T)$ を用いて、拡散と消滅の挙動を分類する。
• 下解・上解法および比較原理を用いて、解および自由境界 $h(t)$ を評価する。
• 時間周期的定常状態近似を用いて上解・下解を構築し、長期的拡散速度を推定する。
• ステファン型自由境界条件 $h'(t) = -\mu u_r(t,h(t))$ を用いて、個体群駆動型フロント拡張をモデル化する。
• 周期性および時間周期的プロファイルへの漸近的収束を用いて、長期的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由境界を伴う時間周期的環境において、種が拡散するか、消滅するかの条件は何か？
• RQ2 主固有値 $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T)$ はどのように拡散-消滅二分法を決定づけるか？
• RQ3 拡散が発生する際の自由境界の漸近的拡散速度は何か？
• RQ4 パラメータ $d$、$h_0$、$\mu$、$u_0$ は種の長期的存続にどのように影響を与えるか？
• RQ5 初期個体群密度 $u_0$ は、不利な生息地における存続に果たす役割は何か？

主な発見

• もし $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T) \leq 0$ ならば、初期条件にかかわらず拡散が保証される。
• もし $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T) > 0$ ならば、初期個体群密度 $u_0$ が十分に大きい場合にのみ拡散が可能である。
• 有利な生息地では、分散率 $d$ が小さいか、初期生息地サイズ $h_0$ が大きい場合に種が定着する。
• 不利な生息地では、$u_0$ が小さいと種は消滅するが、$u_0$ が大きいと生存可能である。
• 拡散が発生する場合、自由境界の漸近的拡散速度は $\lim_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} = \frac{1}{T}\int_0^T k_0(\mu,\breve{\eta},\breve{\beta})(t) dt$ を満たす。ここで $\breve{\eta}$ および $\breve{\beta}$ は、$\alpha - \gamma$ および $\beta$ の無限遠における空間的極限である。
• 拡散速度は、主固有値および解プロファイルから導出される時間平均関数を含む上界・下界によって抑えられる。