[論文レビュー] A Directional Lipschitz Extension Lemma, with Applications to Uniqueness and Lagrangianity for the Continuity Equation

Laura Caravenna, Gianluca Crippa|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、連続なベクトル場の積分曲線に沿って、ユークリッド距離および測地的距離の両方のリプシッツ連続性を同時に保つ、新しい方向性リプシッツ拡張補題を導入する。この補題を応用することで、著者らは、解の高次積分性を仮定しない最小限の可積分性条件下で、連続性方程式の弱解の一意性およびラグランジュ的構造を確立する。具体的には、$W^{1,p}$ に属するベクトル場（$p > n$）かつほとんど everywhere で前向き・後向き積分曲線が自明である場合で、解が局所可積分である場合に、ディ・プローナ＝ライオンズ理論における高次積分性条件を不要にする。

ABSTRACT

We prove a Lipschitz extension lemma in which the extension procedure simultaneously preserves the Lipschitz continuity for two non-equivalent distances. The two distances under consideration are the Euclidean distance and, roughly speaking, the geodesic distance along integral curves of a (possibly multi-valued) flow of a continuous vector field. The Lipschitz constant for the geodesic distance of the extension can be estimated in terms of the Lipschitz constant for the geodesic distance of the original function. This Lipschitz extension lemma allows us to remove the high integrability assumption on the solution needed for the uniqueness within the DiPerna-Lions theory of continuity equations in the case of vector fields in the Sobolev space $W^{1,p}$, where $p$ is larger than the space dimension, under the assumption that the so-called "forward-backward integral curves" associated to the vector field are trivial for almost every starting point. More precisely, for such vector fields we prove uniqueness and Lagrangianity for weak solutions of the continuity equation that are just locally integrable.

研究の動機と目的

• ディ・プローナ＝ライオンズ理論における解の高次積分性仮定を排除することにより、一意性およびラグランジュ的構造を確立すること。
• ベクトル場が $W^{1,p}$ に属し、$p > n$ であり、かつ前向き・後向き積分曲線がほとんど everywhere で自明である場合に、連続性方程式の弱解の一意性およびラグランジュ的性質を確立すること。
• 同じ条件下で、標準的積分曲線のほとんど everywhere での一意性を証明し、これは、絶対連続初期データを持つ正の測度解の一意性を示唆する。
• 積分曲線に沿って測地的距離の連続性を制御する新しい解析的道具「方向性リプシッツ拡張」を提供すること。

提案手法

• 連続なベクトル場の積分曲線に沿って、ユークリッド距離および測地的距離の両方のリプシッツ連続性を保つ方向性リプシッツ拡張補題を構築すること。
• この補題を用いて、弱解の積分曲線に沿った挙動を制御し、特に連続性方程式の文脈で応用すること。
• 正則ラグランジュ流の理論と最大関数の推定を用いて、拡張手続きにおける主要な可積分性条件を検証すること。
• 拡張の測地的リプシッツ定数が、元の関数の測地的リプシッツ定数によって上から抑えられることを確立すること。
• 流れに沿った変数変換と最大関数の推定を用いて、証明における $|Db|^{\tilde{p}}$ の $L^p$-ノルムを制御すること。
• 重ね合わせ原理と流れのほぼ非圧縮性を活用し、測度解と連続性方程式を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル場が $W^{1,p}$ に属し、$p > n$ である場合に、解が $L^\infty([0,T]; L^q)$ の可積分性を仮定しないで、連続性方程式の弱解の一意性およびラグランジュ的構造を確立できるか？
• RQ2 ディ・プローナ＝ライオンズ理論における高次積分性仮定を排除できるベクトル場の条件は何か？
• RQ3 $W^{1,p}$ ベクトル場（$p > n$）かつ前向き・後向き積分曲線が自明である場合に、積分曲線のほとんど everywhere での一意性を証明できるか？
• RQ4 積分曲線に沿って、ユークリッド距離および測地的距離の両方を同時に制御する方向性リプシッツ拡張補題を構築できるか？
• RQ5 前向き・後向き積分曲線が自明であるという条件が、解の一意性およびラグランジュ的性質を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• ベクトル場が $L^1([0,T]; W^{1,p}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n))$ に属し、$p > n$ であり、かつ前向き・後向き積分曲線がほとんど everywhere で自明であると仮定すると、解が局所可積分であっても、連続性方程式の弱解は一意的かつラグランジュ的である。
• 方向性リプシッツ拡張補題により、積分曲線に沿った測地的距離の連続性が制御可能となり、ディ・プローナ＝ライオンズ理論における $L^\infty([0,T]; L^q)$ 可積分性仮定を排除できる。
• 標準的積分曲線のほとんど everywhere での一意性が証明され、これは、絶対連続初期データを持つ正の測度解の一意性を示唆する。
• 証明は最大関数の推定と正則ラグランジュ流に沿った変数変換に依拠しており、関連する交換子項が極限で消えることを示している。
• 標準的な仮定 (1.4b) および (1.4c)、および圧縮性条件 (1.6) が満たされていれば、発散が有界であると仮定しなくても結果は成り立つ。
• 系 5.4 は、同じ条件下で、連続性方程式の初期値問題が、$L^1_{\text{loc}}$ 解と一致する一意的な正の測度解を持つことを示している。