[論文レビュー] A discontinuous isoperimetric profile for a complete Riemannian manifold

Stefano Nardulli, Pierre Pansu|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、不連続な等周的プロファイルを持つ、初めて知られている完全で非コンパクトな3次元リーマン多様体の例を構成する。著者たちは、縮小するチューブで接続されたノルムアンフォールドの列を用いて、体積1において等周的プロファイルが急激に低下する多様体を構築した。これは、曲率や幾何的制約を追加しない完全なリーマン多様体においても、等周的プロファイルの連続性が保証されないことを示している。

ABSTRACT

The first known example of a complete Riemannian manifold whose isoperimetric profile is discontinuous is given.

研究の動機と目的

• 完全なリーマン多様体が不連続な等周的プロファイルを持つ可能性があるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 最小限の幾何的仮定のもとで等周的プロファイルの連続性が成り立つという予想に対して反例を構成すること。
• 等周的領域の存在と下からのリッチ曲率の下界が、等周的プロファイルの連続性を保証するのに不十分であることを示すこと。
• ノルムアンフォールドの幾何とカルノー＝カラテオドリ距離を活用して、非コンパクト多様体における等周的挙動の理解を拡張すること。

提案手法

• ヘイゼンバーグ群のカルノー＝カラテオドリ幾何を用いて、体積が $1 + \tau_n$ で、等周的プロファイルが一様に下から有界であるノルムアンフォールド $N_{t_n,\rho_n}$ の非交和を構成する。
• パーンス（Pansu, 1983）によるヘイゼンバーグ群における等周不等式を用い、各 $N_{t_n,\rho_n}$ の等周的プロファイルに一様な下界 $c$ を確立し、$I_{N_{t_n,\rho_n}}(v) \geq c$ が小刻みな体積に対して成り立つようにする。
• 体積 $w_n$ と面積 $a_n$ が制御された細いチューブを連続する多様体で接続し、$\sum w_n < 1/2$ および $\sum a_n < c/16$ となるように選ぶことで、体積1における等周的プロファイルの下界を保つ。
• 滑らかで幾何的制御が可能な多様体 $M$ を、変形済みのノルムアンフォールド $\tilde{N}_n$ とチューブ $T_n$ を連結和として結合することで構成する。
• 体積 $1 + \alpha_n$ の領域 $D_n = \tilde{N}_n$ を考えることで、$\alpha_n \to 0^+$ のとき $I_M(1+\alpha_n) \to 0$ を示す。
• 任意の体積1領域の面積が下から $c/16$ で抑えられることを示し、$I_M(1) \geq c/16 > 0$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全で非コンパクトなリーマン多様体のうち、等周的プロファイルが不連続であるものが存在するか？
• RQ2 多様体が完全で有界幾何を持つ場合でも、等周的プロファイルが連続でないことがあるか？
• RQ3 完全な多様体において、等周的プロファイルの連続性を保証するために、球体積の非崩壊仮定は必要か？
• RQ4 カルノー＝カラテオドリ距離を備えたノルムアンフォールドを用いて、不連続な等周的プロファイルを持つ多様体を構成できるか？
• RQ5 すべての体積に対して等周的領域が存在することは、等周的プロファイルの連続性を保証するのに十分か？

主な発見

• 構築された多様体 $M$ の等周的プロファイル $I_M$ は体積1で不連続であり、$\lim_{v \to 1^+} I_M(v) = 0$ である。
• 不連続性にもかかわらず、$I_M(1) \geq c/16 > 0$ であり、$c$ はヘイゼンバーグ群における等周不等式から得られる一様な下界である。
• 体積が $1 + \tau_n$、$\tau_n = 1/n$、$\epsilon_n = \tau_n^3$ であるノルムアンフォールド $N_{t_n,\epsilon_n}$ の列を用いて構成され、小刻みな体積における等周的プロファイルが下から有界であることを保証する。
• 接続チューブの総体積は $\sum w_n < 1/2$、総面積は $\sum a_n < c/16$ であり、これにより体積1領域の境界面積が下から抑えられる。
• 不連続性は、体積 $1 + \alpha_n$ の領域が個々の $\tilde{N}_n$ 内で選べ、境界面積を任意に小さくできる一方、体積1領域は複数の成分を跨がなければならないため、接続チューブの大きな面積を内包することに起因する。
• この結果は、下からのリッチ曲率の下界と等周的領域の存在があっても、等周的プロファイルの連続性は保証されないことを示しており、非崩壊仮定の必要性が未解決のまま残っている。