[論文レビュー] A Discrete Theory of Connections on Principal Bundles

Melvin Leok, Jerrold E. Marsden+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2005

Numerical methods for differential equations参考文献 22被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、主 bundle 上の接続の離散的理論を構築するために、アティヤ序列の離散的類似を導入し、この序列の分割を用いて離散接続を定義する。離散外微分計算を用いて、離散曲率、ホロノミー、幾何的位相の計算フレームワークを確立し、微分幾何学的力学および制御における構造保存型数値積分を可能にする。

ABSTRACT

Connections on principal bundles play a fundamental role in expressing the equations of motion for mechanical systems with symmetry in an intrinsic fashion. A discrete theory of connections on principal bundles is constructed by introducing the discrete analogue of the Atiyah sequence, with a connection corresponding to the choice of a splitting of the short exact sequence. Equivalent representations of a discrete connection are considered, and an extension of the pair groupoid composition, that takes into account the principal bundle structure, is introduced. Computational issues, such as the order of approximation, are also addressed. Discrete connections provide an intrinsic method for introducing coordinates on the reduced space for discrete mechanics, and provide the necessary discrete geometry to introduce more general discrete symmetry reduction. In addition, discrete analogues of the Levi-Civita connection, and its curvature, are introduced by using the machinery of discrete exterior calculus, and discrete connections.

研究の動機と目的

• 主 bundle 上の離散接続を形式化するため、アティヤ序列の離散的類似を構築すること。
• 曲率やホロノミーなどの幾何的構造を保存する離散接続の計算フレームワークを提供すること。
• 対称性を有する力学系の変分積分法における離散的対称性削減および幾何的位相計算を可能にすること。
• 単体メッシュに主 bundle 構造を備えた接続および曲率を含むように、離散外微分計算を拡張すること。
• 対称的かつ内的な設定で離散接続を導入することで、離散非ホロノミック力学および幾何的制御のための基盤を築くこと。

提案手法

• 離散群ガロアと分割を用いて離散アティヤ序列を構築し、主 bundle 上の離散接続を定義する。
• 主 bundle 構造を尊重し、水平.lift を可能にする拡張されたペア群ガロアの合成を導入する。
• 離散 1-チェイン上の G-値関数として離散接続 1-形式を定義し、曲率を離散外微分により計算する。
• 部分的な頂点順序を備えた単体分割を用いて、曲率を共役変換に関して一意に定義可能とし、共役変換不変ノルムを用いて曲率の検出を行う。
• 頂点および辺にプライマル計量と接続を持つ離散リーマン多様体を定式化し、局所埋め込みとホロノミー計算を可能にする。
• 一般化されたストークスの定理を用いて、メッシュ上の平行移動を介し、閉ループ回りのホロノミーとして離散曲率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主 bundle 上の接続をモデル化するため、アティヤ序列の離散的類似をどのように構築できるか？
• RQ2 単体メッシュ上での離散曲率とホロノミーを幾何的構造を保存する形で、どのように内的に定義できるか？
• RQ3 離散接続が離散的対称性削減および幾何的位相計算を可能にする役割は何か？
• RQ4 連続接続から離散接続をどのように構築できるか、その精度の順序は何か？
• RQ5 離散接続を用いて、対称性を有する非ホロノミック力学の一貫性のある離散的理論を構築できるか？

主な発見

• 離散アティヤ序列が構築され、短完全系列の分割に対応する離散接続が存在する。
• 離散曲率は、接続 1-形式の離散外微分として G-値 2-形式として定義され、単体複体上では共役変換に関して一意に定義可能である。
• SO(n) 上の共役変換不変ノルムにより、高曲率領域におけるメッシュの細分化のための曲率の品質指標として利用可能である。
• 離散ホロノミーは、メッシュ内のループに沿ったフレームの平行移動により計算され、一般化されたストークスの定理により曲率の積分が得られる。
• 本フレームワークにより、転がる猫やフーコーの振り子における離散幾何的位相を、構造保存型積分法でシミュレート可能である。
• 理論は、変分積分法を用いた剛体体シミュレーションにおける正確な離散位相公式の可能性を含み、離散非ホロノミック力学の基盤を提供する。