[論文レビュー] Discrete exterior calculus

Jerrold E. Marsden, Anil N. Hirani|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2003

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 57被引用数 490

ひとこと要約

本稿では、単体複体およびその双対に対して、連続的な多様体を用いず、純粋に離散的な組合せ的・幾何的操作のみを用いて、離散外微分形式、ベクトル場、およびそれらの連続的対応物に類似した演算子を導入する、離散外微分計算（DEC）フレームワークを構築する。主な貢献は、制御された補間を組み込んだ完全に離散的な定式化であり、既知の公式の正確な回復を可能にし、変分問題や制約付き系における構造を保存する数値手法の基盤を提供する。

ABSTRACT

This thesis presents the beginnings of a theory of discrete exterior calculus (DEC). Our approach is to develop DEC using only discrete combinatorial and geometric operations on a simplicial complex and its geometric dual. The derivation of these may require that the objects on the discrete mesh, but not the mesh itself, are interpolated. Our theory includes not only discrete equivalents of differential forms, but also discrete vector fields and the operators acting on these objects. Definitions are given for discrete versions of all the usual operators of exterior calculus. The presence of forms and vector fields allows us to address their various interactions, which are important in applications. In many examples we find that the formulas derived from DEC are identical to the existing formulas in the literature. We also show that the circumcentric dual of a simplicial complex plays a useful role in the metric dependent part of this theory. The appearance of dual complexes leads to a proliferation of the operators in the discrete theory. One potential application of DEC is to variational problems which come equipped with a rich exterior calculus structure. On the discrete level, such structures will be enhanced by the availability of DEC. One of the objectives of this thesis is to fill this gap. There are many constraints in numerical algorithms that naturally involve differential forms. Preserving such features directly on the discrete level is another goal, overlapping with our goals for variational problems. In this thesis we have tried to push a purely discrete point of view as far as possible. We argue that this can only be pushed so far, and that interpolation is a useful device. For example, we found that interpolation of functions and vector fields is a very convenient. In future work we intend to continue this interpolation point of view, extending it to higher degree forms, especially in the context of the sharp, Lie derivative and interior product operators. Some preliminary ideas on this point of view are presented in the thesis. We also present some preliminary calculations of formulas on regular nonsimplicial complexes.

研究の動機と目的

• 単体複体およびその双対における離散的な幾何的・組合せ的演算のみに依拠した、離散外微分計算（DEC）フレームワークを確立すること。
• 外微分形式、ベクトル場、および外微分法の標準的演算子（外微分、余微分、ホッジスターを含む）の離散的類似物を定義すること。
• 外的双対複体が、離散理論における計量依存的演算を自然に支えることの証明。
• 微分形式や変分原理を含む数値アルゴリズムにおいて、内在的な幾何的・位相的構造を保持すること。
• 補間の役割が、高次の形式やシャープ演算子、リー微分、内部積といった高度な演算子へのDECの拡張にどのように寄与するかを検討すること。

提案手法

• 理論は、単体複体とその幾何的双対における離散的データのみを用いて構築され、連続的な多様体は使用しない。
• 離散的微分形式は単体複体上のコチェーン複体によって定義され、離散的ベクトル場は双対複体上で定義される。
• 外微分や余微分などの演算子は、組合せ論的に定義され、ホッジスターは外接円中心双対から導出される。
• 関数およびベクトル場の補間は、連続理論との一貫性を保ちつつ、離散フレームワークを拡張するためのツールとして導入される。
• 離散的公式が文献に既に知られている結果を再現することにより、フレームワークの妥当性を検証する。
• 幾何的および組合せ論的推論を用いて、正則で単体でない複体への初步的な拡張を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体複体およびその双対における離散的幾何的・組合せ的演算のみを用いて、どのように離散外微分計算を構築できるか？
• RQ2 外接円中心双対は、離散外微分計算における計量依存的演算を可能にする役割を果たすか？
• RQ3 完全に離散的な設定において、離散的ベクトル場およびそれらの形式との相互作用を一貫して定義する方法は何か？
• RQ4 関数およびベクトル場の補間は、連続的多様体に依存せずに、離散微分計算フレームワークをどのように強化するか？
• RQ5 離散的演算子および構造は、古典的外微分法の既知の公式を回復できるか？また、どのような条件下で可能か？

主な発見

• 標準的な例に適用した際、離散外微分計算フレームワークは、文献に既存の公式を正確に再現し、連続理論との一貫性を確認した。
• 単体複体の外接円中心双対は、ホッジスターのような計量依存的演算子を定義するための自然かつ効果的な構造を提供する。
• 離散的微分形式は単体複体上、離散的ベクトル場はその双対上に定義可能であり、これにより離散的設定におけるそれらの相互作用の研究が可能になる。
• 関数およびベクトル場の補間は、連続的多様体を必要としない中で、有用かつ便利なツールとして機能し、離散フレームワークを強化する。
• 理論は、シャープ演算子、リー微分、内部積の離散的類似物を含む、豊富な代数的・幾何的構造を支持しており、将来的な拡張に向けた初期のアイデアが提示された。
• 正則で単体でない複体に関する初步的結果から、幾何的および組合せ論的原則を用いることで、DECフレームワークが単体メッシュを超えて一般化可能であることが示唆された。