[論文レビュー] A dual point of view on the ribbon graph decomposition of moduli space

Kevin J. Costello|ArXiv.org|Jan 6, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、境界およびマークド点をもつリーマン面のモジュライ空間の二重セル分解を、コンパクトなオルビセル複体 $D_{g,h,r,s}$ を用いて導入する。この複体は、モジュライ空間 $Γ_{g,h,r,s}$ と弱ホモトピー同値であり、ノードを持つ境界のコンパクト化と変形リトラクションを用いて構成される。この複体は、ディスク成分を持つ退化した表面から構成され、標準のリボングラフ複体とは異なり、微分がエッジ収縮ではなく頂点分割によって与えられる双対チェーンモデルを提供する。

ABSTRACT

In this note, I discuss in some detail the dual version of the ribbon graph decomposition of the moduli spaces of Riemann surfaces with boundary and marked points, which I introduced in math.AG/0402015, and used in math.QA/0412149 to construct open-closed topological conformal field theories. This dual version of the ribbon graph decomposition is a compact orbi-cell complex with a natural weak homotopy equivalence to the moduli space.

研究の動機と目的

• 境界およびマークド点をもつリーマン面のモジュライ空間に対する、標準の非コンパクトなリボングラフ分解とは補完的である双対セルモデルの提供。
• モジュライ空間 $\mathcal{N}_{g,h,r,s}$ と弱ホモトピー同値であるコンパクトなオルビセル複体 $D_{g,h,r,s}$ の構成により、ホモロジーの双対チェーンモデルの実現。
• 内部マークド点を含むリボングラフ形式の拡張として、二種類の頂点タイプを導入したバリエーションリボングラフ複体の導入。
• 境界マークド点の結合（オープンストリング型結合写像）と整合するように、生成子と関係式によるモジュライ空間の記述（PROPとして）。
• ストレベル微分に依存しない、解析的ではなく幾何学的な方法によりリボングラフを構成する。

提案手法

• 境界上にノード特異点を許容することで、モジュライ空間の部分的コンパクト化 $\overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$ を構成し、コーナーを持つオルビフォールドを形成する。
• オルビセル複体 $D_{g,h,r,s}$ を、すべての既約成分がディスク（内部マークド点を高々一つもつ）であるような表面の集合として定義し、自然な層化構造を与える。
• 双曲計量の指数写像を用いて、$\overline{\mathcal{N}}_{g,h,0,s}$ をその境界 $\partial\overline{\mathcal{N}}_{g,h,0,s}$ に変形リトラクトすることで、非特異な表面をノードを持つものへと内側へと流す。
• 境界マークド点を無視する写像 $\overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s} \to \overline{\mathcal{N}}_{g,h,0,s}$ を用い、$\partial\overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s} \hookrightarrow \overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$ が弱ホモトピー同値であることを示す。
• ノードを介した繰り返しのファイバー積による境界の単体的構造を用いた帰納的議論により、$D_{g,h,r,s} \to \partial\overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$ が弱同値であることを示す。
• 図式の走査により、$D_{g,h,r,s} \to \overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$ が弱ホモトピー同値であることを結論づけ、したがってホモトピー圏において $D_{g,h,r,s} \simeq \mathcal{N}_{g,h,r,s}$ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界およびマークド点をもつリーマン面のモジュライ空間と弱ホモトピー同値であるコンパクトなオルビセル複体を構成可能か？
• RQ2 双対リボングラフ複体は、微分構造および組合せ論的に標準リボングラフ複体とどのように異なるか？
• RQ3 ノードを持つ境界特異点は、モジュライ空間の自然なコンパクト化を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ4 双曲計量を用いた幾何学的構成により、モジュライ空間をその境界に変形リトラクトすることは可能か？
• RQ5 得られるチェーンモデルは、マークド点におけるオープンストリング結合操作とどの程度整合するか？

主な発見

• オルビセル複体 $D_{g,h,r,s}$ はモジュライ空間 $\mathcal{N}_{g,h,r,s}$ と弱ホモトピー同値であり、そのホモトピー型を表すコンパクトなセルモデルを提供する。
• $s=0$ のとき、複体 $D_{g,h,r,0}$ は標準リボングラフ複体の双対と同型であり、微分はエッジ収縮ではなく頂点分割によって与えられる。
• $s>0$ のとき、複体は二種類の頂点タイプ（境界成分用と内部マークド点用）を持つリボングラフのバリエーションを含む。
• この構成は幾何学的に自然であり、コンパクト化されたモジュライ空間 $\overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$ の境界構造から直接導かれる。ストレベル微分に依存しない。
• 包含写像 $D_{g,h,r,s} \hookrightarrow \overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$ は、$\overline{\mathcal{N}}_{g,h,0,s}$ をその境界に変形リトラクトする手法と、境界の単体的構造に関する帰納的議論により弱ホモトピー同値であることが示された。
• 本手法により、オープンストリング型の境界マークド点の結合と整合する生成子と関係式による記述（ホモトピー的意味で）が得られ、モジュライ空間をPROPとして記述可能となる。