[論文レビュー] Moduli of J-Holomorphic Curves with Lagrangian Boundary Conditions and Open Gromov-Witten Invariants for an $S^1$-Equivariant Pair

Chiu-Chu Melissa Liu|ArXiv.org|Oct 17, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用数 78

ひとこと要約

本稿は、ラグランジュ部分多様体に境界を持つ J-正則曲線のモジュライ空間に、角を持つ kuranishi 構造を構成し、C^∞-位相においてコンパクト性とハウスドルフ性を証明する。虚次元が 0 である S¹-等変なペアに対しては、有理数のオイラー数としてオープン・グロモフ・ウィトテン不変量を定義し、局在化計算と一致すると予想される。

ABSTRACT

Let $(X,ω)$ be a symplectic manifold, $J$ be an $ω$-tame almost complex structure, and $L$ be a Lagrangian submanifold. The stable compactification of the moduli space of parametrized $J$-holomorphic curves in $X$ with boundary in $L$ (with prescribed topological data) is compact and Hausdorff in Gromov's $C^\infty$-topology. We construct a Kuranishi structure with corners in the sense of Fukaya and Ono. This Kuranishi structure is orientable if $L$ is spin. In the special case where the expected dimension of the moduli space is zero, and there is an $S^1$ action on the pair $(X,L)$ which preserves $J$ and acts freely on $L$, we define the Euler number for this $S^1$ equivariant pair and the prescribed topological data. We conjecture that this rational number is the one computed by localization techniques using the given $S^1$ action.

研究の動機と目的

• ラグランジュ部分多様体に境界を持つ J-正則曲線のための、厳密なオープン・グロモフ・ウィトテン不変量の定義。
• C^∞-位相において、ラグランジュ境界条件を満たす安定写像のモジュライ空間がコンパクトかつハウスドルフであることを確立する。
• このモジュライ空間に角を持つ kuranishi 構造を構成し、ラグランジュがスピンである場合には可定向性を証明する。
• 虚次元が 0 である S¹-等変ペアに対して、オイラー数不変量を定義し、局在化結果と一致すると予想する。
• 弦理論における物理的予測を検証するための、オープン・グロモフ・ウィトテン不変量の基礎的枠組みを提供する。

提案手法

• Gromov の C^∞-位相を用いて、ラグランジュ部分多様体に境界を持つ J-正則曲線のモジュライ空間をコンパクト化する。
• 境界付きリーマン面の変形理論とノード曲線のグルーリング技術を用いて、角を持つ kuranishi 構造を構成する。
• 安定写像を安定化するために kuranishi 法を適用し、W^{k,p} 写像と仮想次元の公式を用いてモジュライ空間を制御する。
• ペア (X,L) に S¹-等変性を課して、仮想次元が 0 である場合に局在化を用いてオイラー数不変量を定義する。
• シュワーツの相反原理を用いて、境界が L に在る正則写像を、コンパクトなリーマン面への正則写像に関連付ける。
• オイラー数が、モジュライ空間の Hodge バンドルと ψ-類を含む局在化計算と一致すると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ境界条件を満たす J-正則曲線のための、明確に定義され、コンパクトかつ可定向なモジュライ空間を構成できるか？
• RQ2 このモジュライ空間に角を持つ kuranishi 構造が存在するか？また、ラグランジュがスピンである場合には可定向か？
• RQ3 仮想次元が 0 である S¹-等変ペアに対して、オープン・グロモフ・ウィトテン不変量を定義できるか？
• RQ4 この構成によって得られるオイラー数不変量は、局在化技法によって得られるものと等価か？
• RQ5 一般の場合において、S¹-等変性の制限的仮定を除去するために、境界条件をどのように一般化できるか？

主な発見

• ラグランジュ境界条件を満たす J-正則曲線のモジュライ空間は、C^∞-位相においてコンパクトかつハウスドルフである。
• このモジュライ空間に角を持つ kuranishi 構造が構成され、ラグランジュ部分多様体がスピンであれば可定向である。
• 仮想次元が 0 である S¹-等変ペアに対して、有理数としてオイラー数不変量が定義される。
• 不変量 $ C(g;h|d;n_1,\ldots,n_h|a) $ は、次のような双対性関係を満たすと予想される：$ (-1)^{d-h}C(g;h|d;n_1,\ldots,n_h|a) = C(g;h|d;n_1,\ldots,n_h|1-a) $。
• genus 0 の場合、不変量は $ (a(1-a))^{h-1} \prod_{i=1}^{h} \binom{n_i a - 1}{n_i - 1} d^{h-3} $ で与えられ、局在化結果と一致する。
• 高世代の場合は、Hodge バンドルのチャーン類と ψ-類を含む $ \overline{M}_{g,h} $ 上の積分として不変量が表現される。