[論文レビュー] A family of new simple modules over the Schrödinger-Virasoro algebra

Haibo Chen, Yanyong Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特定の部分代数の有限次元商代数上の単純モジュールから誘導することによって、シュレーディンガー＝バーリソン代数および$W(2,2)$代数の新たな単純モジュールの広い族を構成する。この構成法は、最高重量モジュールおよびウィッタッカー・モジュールを特別な場合として含み、正部分に属する元の作用が局所的に有限であるすべての単純モジュールがこのクラスに属することを特定し、それにより新たな重みなし・ウィッタッカーでもない単純モジュールが得られる。

ABSTRACT

In this article, a large class of simple modules over the Schrödinger-Virasoro algebra $\mathcal{G}$ are constructed, which include highest weight modules and Whittaker modules. These modules are determined by the simple modules over the finite-dimensional quotient algebras of some subalgebras. Moreover, we show that all simple modules of $\mathcal{G}$ with locally finite actions of elements in a certain positive part belong to this class of simple modules. Similarly, a large class of simple modules over the $W$-algebra $W(2,2)$ are constructed.

研究の動機と目的

• シュレーディンガー＝バーリソン代数上の新たな単純モジュールの広いクラスを構成し、最高重量モジュールおよびウィッタッカー・モジュールを一般化すること。
• 代数の正部分に属する元の作用が局所的に有限であるすべての単純モジュールが、この構成クラスに属することを同定すること。
• $W(2,2)$代数へこの構成法を拡張し、同様に新たな単純モジュールを生成すること。
• 局所的に有限または局所的に冪零な作用を持つモジュールの共通枠組みを同定することで、これらの代数の表現理論を統一すること。

提案手法

• シュレーディンガー＝バーリソン代数の部分代数の有限次元商代数上の単純モジュールからモジュールを誘導する。
• $\mathbb{M} \times \mathbb{M}$ 上の主な全順序を用いてフィルトレーションを定義し、誘導モジュールの構造を分析する。
• $W(2,2)$代数における生成子$W_i, L_j$の作用に条件を定義し、誘導モジュールの単純性を保証する。
• 局所的に有限および局所的に冪零な作用の概念を用いて、両代数上の単純モジュールを分類する。
• $W_t$および$L_j$（大きな添え字）における作用の特定の条件下で、誘導モジュールが単純であることを検証する。
• $\mathcal{W}_d$-部分代数の枠組みを用いて、局所的に有限な作用と誘導構造との間の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統一された構成法によって、シュレーディンガー＝バーリソン代数上で最高重量モジュールおよびウィッタッカー・モジュールが特別な場合として得られるか。
• RQ2 シュレーディンガー＝バーリソン代数上の誘導モジュールが単純であるための生成子の作用に必要な条件は何か。
• RQ3 正部分に属する元の作用が局所的に有限であるすべての単純モジュールが、この構成によってカバーされるか。
• RQ4 同じ方法を用いて$W(2,2)$代数上でも新たな単純モジュールを構成できるか。
• RQ5 これらの代数の文脈において、局所的に有限な作用と誘導モジュールとの間の正確な関係は何か。

主な発見

• 誘導モジュールが部分代数上の1次元モジュールから生じる場合、構成法は最高重量モジュールを特別な場合として回復する。
• 誘導モジュールが特定の作用条件を満たす部分代数上の特徴の作用を用いて定義される場合、構成法はウィッタッカー・モジュールを特別な場合として回復する。
• シュレーディンガー＝バーリソン代数の単純モジュールで、十分に大きな$i$に対して$M_i, (1-\delta_{i,0})Y_{i-1/2}, L_i$の作用が局所的に有限であるものは、すべて本稿で構成されたモジュールと同型である。
• $W(2,2)$代数において、$V$が単純な$\mathcal{W}_d$-モジュールであり、$W_t$および$L_j$（大きな添え字）において単射性および消滅条件を満たす場合、誘導モジュール$\mathrm{Ind}(V)$は単純である。
• 本稿では、単純$\mathcal{W}$-モジュールにおいて、大きな$i,j$に対する$W_i, L_j$の作用が局所的に有限であることと局所的に冪零であることの同値性を確立した。
• このような局所的に有限な作用を持つ任意の単純$\mathcal{W}$-モジュールは、定理5.1の条件を満たす単純$\mathcal{W}_d$-モジュール$V$からの誘導モジュール$\mathrm{Ind}(V)$と同型である。