[論文レビュー] A family of symmetric functions associated with Stirling permutations

Rafael S. González D’León|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、スターリング順列に関連する対称関数の族を導入し、完全同次および基本対称関数を含む古典的恒等式を一般化する。指数型母関数を用いて、これらの対称関数とオイラー多項式、および r-スターリング順列の組合せ論的性質を結びつける新しい恒等式を確立する。主な結果として、細分化された降下、上昇、平らな部分統計の等分布性と、モジュライ空間および自由リー代数への関連が示される。

ABSTRACT

We present exponential generating function analogues to two classical identities involving the ordinary generating function of the complete homogeneous symmetric functions. After a suitable specialization the new identities reduce to identities involving the first and second order Eulerian polynomials. The study of these identities led us to consider a family of symmetric functions associated with a class of permutations introduced by Gessel and Stanley, known in the literature as Stirling permutations. In particular, we define certain type statistics on Stirling permutations that refine the statistics of descents, ascents and plateaux and we show that their refined versions are equidistributed, generalizing a result of Bóna. The definition of this family of symmetric functions extends to the generality of $r$-Stirling permutations. We discuss some occurrences of these symmetric functions in the cases of $r=1$ and $r=2$.

研究の動機と目的

• 通常の生成関数から指数型母関数への古典的対称関数恒等式の拡張。
• スターリング順列およびその r-類似に関する新しい対称関数族の定義と研究。
• 通常の順列における降下、上昇、平らな部分の等分布性に関する Bóna の結果を、スターリング順列における細分化統計に一般化すること。
• これらの対称関数と自由リー代数や安定曲線のモジュライ空間などの代数的構造との関連の探求。
• r ≥ 3 に対して、結果が r-スターリング順列へ拡張可能かどうかの調査。

提案手法

• 完全同次および基本対称関数を含む古典的対称関数恒等式の指数型母関数版を導出する。
• 順列の連続的上昇型を用いて、スターリング順列における降下、上昇、平らな部分統計の refinement を導入する。
• B. Drake の合成逆関数に関する研究を組み合わせて、ポセット位相を利用せずに主恒等式（定理 2.5）を証明する。
• これらの対称関数と自由マルチブラケットリー代数の多重線形成分との間の関係を確立する。
• 結果を応用して、モジュライ空間 $\overline{M_{0,n}}$ の一般化されたワイエル・ペトロフ体積の閉じた公式を導出する。
• フレームワークを r-スターリング順列へ拡張し、r ≥ 3 に対する一般化の可能性を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称関数の指数型母関数恒等式は、通常の母関数から指数型母関数へ一般化可能か？
• RQ2 スターリング順列における細分化統計（降下、上昇、平らな部分）は、通常の順列と同様に等分布するか？
• RQ3 r ≥ 3 に対して、対称関数 $\mathop{\rm SP}\nolimits^{(r)}_n(\mathbf{x})$ は、組合せ的または代数的文脈で自然に現れるか？
• RQ4 Möbius不変量が $\mathop{\rm SP}\nolimits^{(r)}_n(\mathbf{x})$ で与えられるようなポセット族 $P(n,r)$ が存在するか？
• RQ5 $\{\mathop{\rm SP}\nolimits^{(r)}_\lambda(\mathbf{x}) \mid \lambda \vdash n\}$ が、r ≥ 3 に対して $\Lambda_{\mathbb{Q}}$ の n-次グレーディング成分の基底をなすか？

主な発見

• 論文は、$\sum_{n \geq 0} (-1)^n h_n(\mathbf{x}) \frac{y^n}{n!}$ の逆関数が $\sum_{n \geq 0} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} e_{\lambda(\sigma)}(\mathbf{x}) \frac{y^n}{n!}$ に等しいことを証明し、古典的恒等式を一般化する。
• $\sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} h_{n-1}(\mathbf{x}) \frac{y^n}{n!}$ の合成逆関数が $\sum_{n \geq 1} \sum_{\theta \in \mathcal{Q}_{n-1}} e_{\lambda(\theta)}(\mathbf{x}) \frac{y^n}{n!}$ に等しいことが示され、ここで $\mathcal{Q}_n$ は $\{1,1,2,2,\dots,n,n\}$ のスターリング順列の集合である。
• タイプ $\lambda^{\text{AA}}, \lambda^{\text{DA}}, \lambda^{\text{TN}}, \lambda^{\text{IN}}$ を用いて定義されるスターリング順列における細分化統計は、Bóna の結果を一般化して等分布する。
• $\mathop{\rm SP}\nolimits^{(2)}_n(\mathbf{x})$ が、$\overline{M_{0,n}}$ の一般化されたワイエル・ペトロフ体積の生成関数であることが示され、パワー和基底で表される。
• $\mathop{\rm SP}\nolimits^{(1)}_n(\mathbf{x})$ および $\mathop{\rm SP}\nolimits^{(2)}_n(\mathbf{x})$ が $\Lambda_{\mathbb{Q}}$ の生成子であり、重み付き分割ポセットの最大区間の Möbius 不変量を計算することを証明する。
• k-重の分割の和が $\lambda$ に等しくなるような和を用いて、$WP(\lambda)$、つまり高次ワイエル・ペトロフ体積の閉じた公式が得られる。この式には多項係数および階乗係数が含まれる。