[論文レビュー] A Fast Algorithm for Sparse Controller Design

Matt Wytock, J. Zico Kolter|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Control Systems and Identification参考文献 35被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、大規模システムにおけるスパースコントローラ設計のため、座標勾配降下と効率的なリャプノフ方程式の解法技術を組み合わせた高速なプロキシマルニュートン法を提案する。数値線形代数のテクニックを用いて1反復あたりの計算コストをO(n)に削減することで、従来の手法と比較して100倍以上高速に収束し、数千の状態変数を有するシステム、特に実際の電力網においても高い精度を維持する。

ABSTRACT

We consider the task of designing sparse control laws for large-scale systems by directly minimizing an infinite horizon quadratic cost with an $\ell_1$ penalty on the feedback controller gains. Our focus is on an improved algorithm that allows us to scale to large systems (i.e. those where sparsity is most useful) with convergence times that are several orders of magnitude faster than existing algorithms. In particular, we develop an efficient proximal Newton method which minimizes per-iteration cost with a coordinate descent active set approach and fast numerical solutions to the Lyapunov equations. Experimentally we demonstrate the appeal of this approach on synthetic examples and real power networks significantly larger than those previously considered in the literature.

研究の動機と目的

• 数千の状態変数を有する大規模システムにおけるスパース最適制御のためのスケーラブルなアルゴリズムの不足に応える。
• スパースコントローラ設計におけるニュートン法の1反復あたりO(n³)の計算コストを、リャプノフ方程式の高速化によって克服する。
• 実際のシステム（例：電力網）向けに実用的で高精度なアルゴリズムを開発し、スパースコントローラ設計を可能にする。
• 既存の1次元またはSDPベースの手法と比較して、収束速度を1000倍以上高速化する。

提案手法

• 制御ゲインにℓ1ノルム正則化を施した滑らかなH2コスト関数を最小化するため、プロキシマルニュートン（ニュートン・ラッソ）フレームワークを用いる。
• 各正則化ニュートンステップを効率的に解くために、アクティブ集合上での座標勾配降下を採用する。
• 内積計算ごとにリャプノフ方程式の解法コストをO(n³)からO(n)に削減するため、事前計算と変換を適用する。
• 低ランク構造の特徴を活用するため、高速多重極子法およびオートン＝カガミ因子分解を含む数値的手法を活用する。
• ヘッシアン計算に生じるリャプノフ方程式を、構造に配慮した因子分解と行列分解を用いて解く。
• これらの要素を統合し、ℓ1正則化付き最適制御問題に対するグローバルに収束する2次元最適化手法を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 O(n³)のリャプノフ方程式の解法コストを抱えるにもかかわらず、大規模スパースコントローラ設計に実用的な2次元最適化法を構築できるか？
• RQ2 アクティブ集合上での座標勾配降下は、ℓ1正則化付き最適制御における内側のニュートンステップの解法コストを低減できるか？
• RQ3 行列構造の特徴を活用し、数値線形代数の技術を用いてO(n)のリャプノフ方程式の解法を達成できるか？
• RQ4 実際の電力システムにおいて、提案手法はADMM や ISTA といった1次元手法と比較して、速度と精度の点でどの程度優れるか？
• RQ5 スパースコントローラは、電力網のような大規模システムにおいて、近似的に最適な性能をどの程度達成できるか？

主な発見

• PST 50マシン系（500状態変数）において、提案手法であるニュートン-CDは173秒未満で10⁻⁸未満の精度に収束したが、ADMMは1時間以上経過しても10³以上の誤差を示し続けた。
• PSSを備えたIEEE 145バス系において、ニュートン-CDは173秒未満で収束したが、ADMMとISTAは著しく遅く、スパース構造の安定性も低かった。
• NPCC 140バス系やNE 39バス系を含むすべてのテストされた電力系において、アルゴリズムはLQR性能の0.1%以内の性能で安定したコントローラを発見し、非常にスパースな構造を維持した。
• 最もスパースな安定コントローラは、しばしば局所的または準局所的であり、少数の隣接状態変数にのみ依存するという点で、実用的な分散化を示した。
• すべてのベンチマークにおいて、ADMM や ISTA と比較して、アルゴリズムは10⁴倍以上の高速化を達成し、実行時間の差が最大10⁴倍に達した。
• 本手法は、従来の研究よりもはるかに大きな500状態変数のシステムを効果的に処理でき、計算の全過程で高い数値的精度を維持した。