[論文レビュー] A Faster Local Algorithm for Detecting Bounded-Size Cuts with Applications to Higher-Connectivity Problems

Sebastian Forster, Yang Liu|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有向グラフにおける有界サイズのカットを検出するより高速なランダム化局所アルゴリズムを提示する。$O(k^2\Delta)$のクエリ複雑性を達成しており、これにより従来の境界を著しく改善し、頂点連結性、最大の$k$-エッジ連結部分グラフ、およびより高い連結性の性質テストのためのより高速なアルゴリズムが可能になる。主な貢献は、多項対数的値における頂点連結性をほぼ線形時間で計算可能にする、簡素化されたサブ線形時間手順である。

ABSTRACT

Consider the following "local" cut-detection problem in a directed graph: We are given a starting vertex $s$ and need to detect whether there is a cut with at most $k$ edges crossing the cut such that the side of the cut containing $s$ has at most $Δ$ interior edges. If we are given query access to the input graph, then this problem can in principle be solved in sublinear time without reading the whole graph and with query complexity depending on $k$ and $Δ$. We design an elegant randomized procedure that solves a slack variant of this problem with $O(k^2 Δ)$ queries, improving in particular a previous bound of $O((2(k+1))^{k+2} Δ)$ by Chechik et al. [SODA 2017]. In this slack variant, the procedure must successfully detect a component containing $s$ with at most $k$ outgoing edges and $Δ$ interior edges if such a component exists, but the component it actually detects may have up to $O(k Δ)$ interior edges. Besides being of interest on its own, such cut-detection procedures have been used in many algorithmic applications for higher-connectivity problems. Our new cut-detection procedure therefore almost readily implies (1) a faster vertex connectivity algorithm which in particular has nearly linear running time for polylogarithmic value of the vertex connectivity, (2) a faster algorithm for computing the maximal $k$-edge connected subgraphs, and (3) faster property testing algorithms for higher edge and vertex connectivity, which resolves two open problems, one by Goldreich and Ron [STOC '97] and one by Orenstein and Ron [TCS 2011].

研究の動機と目的

• 出次数と内部エッジ数が有界な有向グラフにおける小さなカットを検出するより高速な局所アルゴリズムを設計すること。
• 特に高連結性問題への応用を念頭に、従来の局所的カット検出手順のクエリ複雑性を改善すること。
• GoldreichとRon（2002年）およびOrensteinとRon（2011年）が提示した$k$-エッジおよび$k$-頂点連結性の性質テストに関する未解決問題を解消すること。
• 単一の効率的な局所的カット検出サブルーチンを用いて、既存の高連結性問題のアプローチを統一的かつ簡素化すること。

提案手法

• 始点頂点$s$を含む成分を、最大$k$本の出次数と$O(k\Delta)$本の内部エッジまで許容するランダム化局所手順を設計し、$\Delta$の境界をわずかに超える場合でも動作可能にする。
• 内部エッジ数に対する緩い境界を許容するカット検出問題のスラック版を用い、クエリ複雑性の向上を実現する。
• 高連結性アルゴリズム（頂点連結性や最大$k$-エッジ連結部分グラフの計算など）において、局所的カット検出手順をサブルーチンとして適用する。
• 高連結性の組合せ的性質と成分構造を活用して、性質テストにおけるクエリ要件を削減する。
• 一方向性の性質テストアルゴリズムに、局所的手順を統合し、$k$-エッジおよび$k$-頂点連結性のクエリ複雑性を改善する。
• 度数に依存するクエリ解析への適応により、有界および無限大度数グラフの両方に対して一様な境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の$O((2(k+1))^{k+2}\Delta)$の境界よりも著しく低いクエリ複雑性を持つ局所的カット検出手順を設計できるか？
• RQ2 このような手順により、特に$\kappa$が$n$に関して多項対数的である場合に、頂点連結性の計算をより高速に行えるか？
• RQ3 この手順を用いて、$k$-エッジおよび$k$-頂点連結性の性質テストに関する未解決問題を解消できるか？
• RQ4 $O(k\Delta)$のクエリ複雑性と$O(k^2\Delta)$の実行時間の両方を達成する方法はあるか？$k$要因のオーバーヘッドを回避できるか？
• RQ5 ランダム化局所的カット検出を、$\Delta$に対して線形依存を保ちつつ、$k$に対して指数的依存を回避する形で決定的化できるか？

主な発見

• 提案された局所的カット検出手順は、$O(k^2\Delta)$のクエリ複雑性を達成しており、従来の$O((2(k+1))^{k+2}\Delta)$の境界を改善している。
• アルゴリズムにより、$\kappa$が$n$に関して多項対数的である場合に、頂点連結性$\kappa$の最初のほぼ線形時間計算が可能になった。
• Chechikらの先行研究と比較して、最大$k$-エッジ連結部分グラフの計算をより高速に行える。
• 2つの未解決問題を解決した：GoldreichとRon（2002年）の$k$-エッジ連結性の性質テストに関する問題と、OrensteinとRon（2011年）の$k$-頂点連結性の性質テストに関する問題。
• 性質テストにおいて、無限大度数グラフでは$O\left(\frac{k^5}{(\epsilon\overline{d})^2} \log\left(\frac{k}{\epsilon\overline{d}}\right)\right)$のクエリを、有界度数グラフでは$O\left(\frac{k^3}{\epsilon} \left(\log\left(\frac{k}{\epsilon d}\right)\right)^2\right)$のクエリを実行する。
• 有向および無向グラフ、および有界・無限大度数設定の両方を一様に取り扱うことができる。