[論文レビュー] A Few Projects in String Theory

A. M. Polyakov|ArXiv.org|Apr 28, 1993

Computational Physics and Python Applications参考文献 1被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、動的な2次元重力と結合した conformal field theory の観点から、量子重力および非臨界ストリング理論を検討し、微分同相変換不変性が renormalization を単純化する可能性を示唆するとともに、$\.beta$-対称性を介した partition function のハミルトン＝ジャコビ解釈を提案している。主な結果として、$k$ が $SL(2)$代数の中心指数である場合、1ループ近似において普遍的係数 $rac{k+2}{k+1}$ を持つ修正された $\.beta$-関数が導出された。

ABSTRACT

In these lectures I discuss various unsolved problems of string theory and their relations to quantum gravity, 3d Ising model, large N QCD, and quantum cosmology. No solutions are presented but some new and perhaps useful approaches are suggested.

研究の動機と目的

• 時空を連続多様体ではなく、動的で確率的な表面とみなすことによって、量子重力が一貫して定式化可能かどうかを調査すること。
• 非線形 $\sigma$-モデルとの類似にインspされ、スケール依存結合定数を用いることで、アインシュタイン重力の非 renormalizable 性が解消可能かどうかを検討すること。
• conformal field theory および微分同相変換不変性が、量子重力の演算子代数をどのように単純化するかを調べること。
• 特に、破れがない相の性質と高エネルギーにおけるニュートン定数の振る舞いを含む、重力の相構造を理解すること。
• $\beta$-対称性と異常誘導補正を用いて、非臨界ストリング理論における partition function のスケール依存性を計算するフレームワークを構築すること。

提案手法

• 時空を確率的表面とみなす、自己誘導的2次元重力と結合した conformal field theory としての量子重力を形式化すること。
• 背景場 $G_{\mu\nu}$ および $\Phi$ のターゲット空間への $\beta$-対称性変換を導入し、partition function $Z$ のスケール依存性を調べること。
• 式 (47) のような関数方程式を導出し、$Z$ の $\beta$-対称性による変化が、ワールドシートの異常と関係することを示す。この異常には、エネルギー運動量テンソルのトレースと、ストリング状態上の計量 $\Gamma^{IJ}$ が含まれる。
• 臨界ストリング理論の設定において、余剰なリーマン次元を加えた場合、partition function $Z$ を、運動方程式の解上で評価した古典的作用 $W$ として解釈すること。
• ハミルトン＝ジャコビ形式を用いて、式 (47) を古典的作用方程式として解釈し、1ループ近似でのスケール依存性の計算を可能にする。
• このフレームワークを用いて、$\beta$-関数の1ループ補正を計算し、重力によって生じる普遍的修正係数 $\frac{k+2}{k+1}$ を得た。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形 $\sigma$-モデルにおける $\kappa(p)$ の走る性質と類似して、スケール依存ニュートン定数を導入することにより、アインシュタイン重力の非 renormalizable 性が解消可能かどうか。
• RQ2 量子重力における「破れがない相」、すなわち $\langle G_{\mu\nu} \rangle = 0$ の物理的意味は何か。そして、それは不変的に定義可能か。
• RQ3 非臨界ストリング理論における partition function $Z(G_{\mu\nu}, \Phi)$ は、バックグラウンド場の変化に対してどのように応答するか。そのスケール依存性を支配するのは何か。
• RQ4 重力的効果が非臨界ストリングの $\beta$-関数を体系的に修正可能かどうか。もし可能ならば、その修正の普遍的構造は何か。
• RQ5 非臨界ストリング理論における partition function は、高次元臨界ストリング理論の設定における古典的作用に等価であるか。この関係を用いて、ピンチされたワールドシートの寄与を計算可能か。

主な発見

• 高エネルギー領域では、量子重力における有効ニュートン定数が $\kappa(p^2) \sim p^{-2}$ のようにスケーリングする可能性があり、非線形 $\sigma$-モデルと類似した UV 固定点が存在する可能性を示唆している。
• $\langle G_{\mu\nu} \rangle = 0$ である重力の破れのない相は、ゲージ依存性のため概念的に問題があり、その物理的解釈はまだ明確でない。
• 非臨界ストリング理論における partition function $Z$ は、$\beta$-対称性の変化と、バックグラウンド場の局所関数を含む $\delta Z / \delta \lambda^I$ における2次形式からなる異常項を含む関数方程式 (47) を満たす。
• 式 (47) の異常項は、退化したワールドシート幾何から生じる：第1項はピンチされた球面から、第2項は完全な崩壊から生じる。
• リーマン次元を追加した臨界ストリング理論の文脈では、partition function $Z$ は、初期データ $G_{\mu\nu}(x, \phi_0)$ を持つ解上で評価された古典的作用 $W$ に等しくなる。これにより、ハミルトン＝ジャコビ解釈が確立される。
• 1ループ近似において、重力はすべての $\beta$-関数を普遍的係数 $\frac{k+2}{k+1}$ で修正する。ここで $k$ は $SL(2)$代数の中心指数である。これは、renormalization 構造の深い単純化を示唆している。