[論文レビュー] A Finite-Dimensional String 2-Group

Christopher Schommer‐Pries|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、リー群の2重族、左主バイバンドル、バイバンドル写像の2-圏において、有限次元の中心拡大としてストリング2-群を構成する。これは、ホモトピー型までにストリング(n)空間を実現する幾何的で滑らかなモデルを提供する。トポロジカル群コホモロジーを用いて、長年の懸案事項であった無限次元モデルの問題を解決し、ストリング2-群の一意的かつ有限次元的な実現を確立する。

ABSTRACT

We provide a model of the String group as a central extension of finite-dimensional 2-groups in the bicategory of Lie groupoids, left-principal bibundles, and bibundle maps. This bicategory is a geometric incarnation of the bicategory of smooth stacks and generalizes the more naive 2-category of Lie groupoids, smooth functors, and smooth natural transformations. In particular this notion of smooth 2-group subsumes the notion of Lie 2-group introduced by Baez-Lauda. More precisely we classify a large family of these central extensions in terms of the topological group cohomology introduced by G. Segal, and our String 2-group is a special case of such extensions. There is a nerve construction which can be applied to these 2-groups to obtain a simplicial manifold, allowing comparison with with the model of A. Henriques. The geometric realization is an $A_\infty$-space, and in the case of our model, has the correct homotopy type of String(n). Unlike all previous models our construction takes place entirely within the framework of finite dimensional manifolds and Lie groupoids. Moreover within this context our model is characterized by a strong uniqueness result. It is a unique central extension of Spin(n).

研究の動機と目的

• 滑らかなスタックの枠組み内でストリング2-群の有限次元的幾何的実現を提供すること。
• 無限次元モデルの制限を克服するため、構成をリー群の2重族とバイバンドルの2-圏に埋め込むこと。
• G. セガルのトポロジカル群コホモロジーを用いて、リー2-群の中心拡大を分類すること。
• ストリング2-群がスピン(n)の中心拡大として強い一意性を持つことを確立すること。
• この2-群のナーヴの幾何的実現が、ストリング(n)の正しいホモトピー型を持つことを保証すること。

提案手法

• ストリング2-群を、リー群の2重族、左主バイバンドル、バイバンドル写像の2-圏における中心拡大としてモデル化する。
• G. セガルのトポロジカル群コホモロジーを用いて、このような中心拡大の広い族を分類する。
• 2-群のナーヴを構成し、単体的多様体を生成することで、ヘニケスのモデルとの比較を可能にする。
• ナーヴに幾何的実現を施し、正しいホモトピー型を持つ$A_\infty$-空間が得られることを示す。
• この構成が、完全に有限次元の多様体およびリー群の2重族に留まることを証明する。
• この枠組み内において、ストリング2-群がスピン(n)の中心拡大として一意的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリング2-群は、リー群の2重族とバイバンドルを用いて有限次元的な滑らかな2-群として実現可能か？
• RQ2 提案されたモデルは、ホモトピー型の観点からヘニケスの単体的多様体モデルとどのように比較できるか？
• RQ3 G. セガルのトポロジカル群コホモロジーは、リー2-群の中心拡大を分類する上で果たす役割は何か？
• RQ4 スピン(n)の中心拡大として、ストリング2-群を実現する一意的な有限次元的拡大は存在するか？
• RQ5 この2-群のナーヴの幾何的実現は、ストリング(n)のホモトピー型を持つ$A_\infty$-空間を生成するか？

主な発見

• 構築されたストリング2-群は、リー群の2重族とバイバンドルの2-圏における、スピン(n)の有限次元的中心拡大である。
• ナーヴの幾何的実現を通じて、このモデルはストリング(n)の正しいホモトピー型を実現する。
• この構成は、完全に有限次元の多様体に留まっており、無限次元アプローチの問題を解決する。
• この文脈において、ストリング2-群はスピン(n)の中心拡大として強い一意性を満たす。
• ナーヴの構成により、単体的多様体が得られ、その幾何的実現は$A_\infty$-空間である。
• このような拡大の分類は、G. セガルのトポロジカル群コホモロジーを用いて達成され、体系的な枠組みを提供する。