[論文レビュー] A First-Principles Implementation of Scale Invariance Using Best Matching

Hans Westman|ArXiv.org|Oct 8, 2009

Mathematics and Applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、最良一致法を用いて空間的スケール不変性の第一原理的ゲージ理論を提示し、3次元ベクトルポテンシャル $A_k$ を3次元計量とともに基本場として導入する。ウーラの元来の理論とは異なり、運動方程式は時間微分に関して2階であり、物理的に不適切な4階の振る舞いを回避する。また、このベクトルポテンシャルは電磁気学と不適合であるが、ダークマターまたは宇宙論的スケール効果と関連付ける可能性がある。

ABSTRACT

We present a first-principles implementation of spatial scale invariance as a local gauge symmetry in geometry dynamics using the method of best matching . In addition to the 3-metric, the proposed scale invariant theory also contains a 3-vector potential $A_k$ as a dynamical variable. Although some of the mathematics is similar to Weyl's ingenious but physically questionable theory, the equations of motion of this new theory are second order in time-derivatives. Thereby we avoid the problems associated with fourth order time derivatives that plague Weyl's original theory. It is tempting to try to interpret the vector potential $A_k$ as the electromagnetic field. We exhibit four independent reasons for not giving into this temptation. A more likely possibility is that it can play the role of "dark matter". Indeed, as noted in scale invariance seems to play a role in the MOND phenomenology. Spatial boundary conditions are derived from the free-endpoint variation method and a preliminary analysis of the constraints and their propagation in the Hamiltonian formulation is presented.

研究の動機と目的

• 空間的スケール不変性を幾何学的力学における局所ゲージ対称性として第一原理的に実装すること。
• ウーラの元来のスケール不変理論に見られる物理的に不適切な4階時間微分を回避すること。
• 導入されたベクトルポテンシャル $A_k$ がダークマターに類似した役割を果たすか、または宇宙論的スケール効果を説明できるかを検討すること。
• 自由端点バリエーション法を用いて空間的境界条件を導出し、ハミルトニアン形式における制約を分析すること。
• ベイアーレイン＝シャープ＝ホイーラ作用を共形化することに依存せずにスケール不変性を実装できるかを検討すること。

提案手法

• スケール不変性を局所ゲージ対称性として強制するために、最良一致法を用いて理論を構築する。
• 3次元計量とは別に、3次元ベクトルポテンシャル $A_k$ を新たな動的変数として導入し、ウーラの元来の定式化とは異なる。
• 運動方程式が時間微分に関して2階となるように導出し、ウーラ理論の問題となる4階の振る舞いを回避する。
• 自由端点バリエーション法を用いて、理論の空間的境界条件を導出する。
• ハミルトニアン形式における制約とその伝播を分析し、フォリエーション不変性と適切な時間の出現可能性に注目する。
• 理論をウーラの元来の枠組みと比較し、リー群多様体が $S^1$ ではなく $\mathbb{R}$ であるという数学的差異に注目し、電磁気学とは異なる非アーベル的構造を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的スケール不変性は、共形化された作用に依存せずに、第一原理的に局所ゲージ対称性として実装可能か？
• RQ2 なぜ導入されたベクトルポテンシャル $A_k$ は電磁場と同一視できないのか？
• RQ3 スケール不変性を破らずに、観測された宇宙の膨張をどのように説明できるか？
• RQ4 非自明なスケール曲率 $F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i \neq 0$ がグローバル幾何的効果に与える影響は何か？
• RQ5 ベクトルポテンシャル $A_k$ はダークマターまたは銀河の回転曲線の説明のための妥当な代替説明となる可能性はあるか？

主な発見

• 理論は、ウーラの元来の定式化とは異なり、3次元ベクトルポテンシャル $A_k$ を動的場として導入し、物理的に不適切な4階微分を回避する2階の運動方程式を持つ。
• ベクトルポテンシャルは、普遍的結合性、電荷依存性の欠如、およびそのゲージ群が $U(1)$ ではなく $\mathbb{R}$ であることから、電磁場と同一視できない。
• 理論は、関係的でスケール不変な宇宙の膨張の記述を可能にし、見かけの膨張は、ハッブル半径に対して物体が普遍的に縮小するものとして解釈できる。
• 非自明なスケール曲率 $F_{ij} \neq 0$ は、閉ループに沿って平行移動した定規の長さが変化するなど、観測可能なグローバル効果を引き起こす可能性がある。
• 特に質量密度が概ね一様な領域において、宇宙背景放射のスペクトルが大波長でスケール不変であることは、この枠組みで自然に説明できる。
• ハミルトニアン制約が伝播し、ディラック＝タイテルボイム代数が閉じる場合、光時計を介して適切な時間の出現が支持される可能性があり、フォリエーション不変性と普遍的な光円錐構造を保証する。