[論文レビュー] A fixed point formula for loop group actions

Anton Alekseev, Eckhard Meinrenken+1 more|ArXiv.org|May 4, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、基準化されたハミルトニアン・ループ群多様体に作用する適切なモーメント写像をもつシンプレクティック商のディラック作用素のインデックスに対する固定点公式を確立する。無限次元のループ群空間をベースループ群 ΩG による商によって有限次元のコンパクトな G-多様体 M に還元することで、著者らは M 上の固定点データを用いてインデックスを表現する。これは、直接的な無限次元インデックス理論を避けるための再正規化手続きを通じて、アティヤ＝セゴール＝シンガーの固定点定理をループ群設定に一般化するものである。

ABSTRACT

We express the index of the Dirac operator on symplectic quotients of a Hamiltonian loop group manifold with proper moment map in terms of fixed point data.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン・ループ群多様体のシンプレクティック商に対するアティヤ＝セゴール＝シンガーの固定点公式を、前量子化されたハミルトニアン・ループ群多様体へと一般化すること。
• 無限次元における等変インデックスを直接定義する困難を避けるために、ベースループ群 ΩG による商によって問題を有限次元の G-多様体 M に還元すること。
• M が自然にスピンc-構造を備えないという事実にもかかわらず、M 上の固定点寄与項を用いてシンプレクティック商のインデックスを表現すること。
• 主定理の補足的応用を通じて、曲面上の平坦接続のモジュライ空間のヴェルリンデ数を計算するための道具を提供すること。

提案手法

• 著者らは、ループ群多様体 M̂ をベースループ群 ΩG で割ることで、有限次元のコンパクトな G-多様体 M を構成する。
• M に対して等変インデックス定理を適用し、M における G-作用の固定点寄与項を用いるが、M は自然なスピンc-構造を有しない。
• この手法は、無限次元設定に起因する発散を除去する再正規化手続きを含み、ループ群多様体へのインデックス定理の形式的適用にインspiredされている。
• 証明は、モーメント写像像の多面体的分割における等変インデックスのグルーピング公式に依拠しており、特異点付き軌道多様体のベルラン＝ヴェルヌの局所化公式を用いる。
• 固定点部分多様体上の積分において、正規バンドルの Td, Ch, オイラー類といった特徴類が寄与項の計算に用いられる。
• 代表元の選択に依存しないことを保証するため、切り捨て空間および部分多様体の還元における特徴形式の振る舞いを分析することで、公式が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群からループ群作用への等変インデックスの固定点公式を、無限次元多様体上での作用へと拡張することは可能か？
• RQ2 無限次元における等変インデックスを直接定義せずに、ループ群多様体のシンプレクティック商のインデックスをどのように計算できるか？
• RQ3 有限次元商 M = M̂ / ΩG は、ループ群インデックスの固定点データをどのように符号化しているか？
• RQ4 形式的インデックス公式における発散の再正規化が、有限次元商上でwell-definedな表現をどのように得るか？
• RQ5 このアプローチを用いて、曲面上の平坦接続のモジュライ空間のヴェルリンデ数を計算できるか？

主な発見

• 主結果（定理4.3）は、ハミルトニアン・ループ群多様体のシンプレクティック商のインデックスを、有限次元商多様体 M 上の固定点寄与項の和として表現する。
• M が自然なスピンc-構造を有しないにもかかわらず、固定点部分多様体上で Td, Ch, オイラー類といった特徴類を用いて固定点寄与項が計算される。
• 多面体的分割における寄与項の不正な寄与のキャンセルを保証するグルーピング公式（補題B.1）のおかげで、モーメント写像像の代表元の選択に依存しない。
• 直接的な無限次元解析を避けることで、標準的な局所化技法が適用可能な有限次元設定に問題を還元した。
• 主定理の応用例として、補足論文で示されるように、ヴェルリンデ数の計算フレームワークが提供される。
• この結果は、無限次元幾何学と有限次元固定点データを結ぶ「量子化は還元と可換である」原理をループ群設定へと一般化する。