[論文レビュー] Formulas of Verlinde type for non-simply connected groups

Anton Alekseev, Eckhard Meinrenken+1 more|ArXiv.org|May 4, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ループ群作用の固定点公式を用いて、リーマン面への平坦接続のモジュライ空間に対するヴェルリンデ型の公式を導出する。これは、単連結でない一般のコンパクトで連結なリー群へ古典的ヴェルリンデ公式を拡張するものである。主な貢献は、非単連結群へのヴェルリンデ公式の一般化であり、$SO(3)$ や $operatorname{PSU}(p)$ の場合に検証されており、軌道リー代数を用いて任意の数の境界成分に対しても適用可能な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We derive Verlinde's formula from the fixed point formula for loop groups proved in the companion paper "A fixed point formula for loop group actions", and extend it to compact, connected groups that are not necessarily simply-connected.

研究の動機と目的

• 平坦 $G$-接続のモジュライ空間の幾何学的量子化のヴェルリンデの公式を、単連結でない可能性のある任意のコンパクトで連結なリー群へ一般化すること。
• 同伴論文 [FP] で確立されたループ群作用の固定点公式を用いてヴェルリンデ公式を導出すること。
• コンformal field theory や代数幾何学の文脈において、特に $G = SO(3)$ および $\operatorname{PSU}(p)$ の場合に、ヴェルリンデ型の公式に対する数学的に厳密な枠組みを提供すること。
• 将来の研究で取り扱われる予定の、任意の数のマークイングを含む一般の予想への土台を築くこと、その予想は軌道リー代数を含むものである。

提案手法

• 同伴論文 [FP] に於けるループ群作用の固定点公式を、中心的な技術的道具として用いる。
• 等配指数理論と局所化技術を適用して、モジュライ空間 $\mathcal{M}(\Sigma)$ 上の前量子ラインバンドルの指数を計算する。
• 平坦接続を基底ゲージ変換で割った商としてモジュライ空間 $\mathcal{M}(\Sigma)$ を構成し、不変双線形形式 $B_k$ によって誘導されるシンプレクティック構造を備える。
• 接続の空間のシンプレクティック減少としてホロノミー多様体 $M(\Sigma)$ を導入し、シンプレクティック幾何学とモーメント写像技術の適用を可能にする。
• 融合積とシンプレクティック形式の同相型を用いて、モジュライ空間のシンプレクティック構造と conformal field theory の融合則との関係を結ぶ。
• ウェイル群の上昇と表現論的構成（例：$\rho/c$、基本アラコーブ）を用いて、$D_N$ 場合の $\operatorname{Spin}(2N)$ における中心的要素とその作用を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴェルリンデの公式は、単連結群を超えて、任意のコンパクトで連結なリー群へどのように一般化できるか？
• RQ2 ループ群作用の固定点公式は、ヴェルリンデ型の公式を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ3 非単連結群では、幾何学的量子化の指数と conformal ブロックの次元とはどのように関係するか？
• RQ4 中心的部分群 $\Gamma$ 及びそれらのウェイル群要素への上昇は、モジュライ空間の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 軌道リー代数を用いて、複数の境界成分を持つ曲面へヴェルリンデ公式を拡張できるか？

主な発見

• ループ群の固定点公式を用いて、非単連結コンパクトで連結なリー群へのヴェルリンデ公式が成功裏に拡張された。
• 公式はモジュライ空間 $\mathcal{M}(\Sigma)$ 上の前量子ラインバンドルの指数を計算し、高次コホロロジーが消えるとき、その指数は正則切断の空間の次元に一致する。
• $G = SO(3)$ の場合については以前に知られていた（Pantev）、$G = \operatorname{PSU}(p)$（$p$ が素数）の場合は Beauville によって取り扱われたが、本稿では両者を任意のコンパクトで連結な $G$ へ一般化した。
• 著者らは、標準的シンプレクティック形式と融合形式の間のシンプレクティック同相型を確立し、安定化作用の下でそれらが同値であることを示した。
• $G = \operatorname{Spin}(2N)$ で $N$ が偶数の場合、$Z(G)$ の中心的要素 $\gamma_1, \gamma_2$ に対応するウェイル群要素は $N_G(T)$ 内で可換な要素に上昇し、融合構成の整合性が保証される。
• この枠組みは、Fuchs と Schweigert が予想したように、将来の研究で任意の数のマークイングを含むヴェルリンデ公式の証明の土台を提供する。