[論文レビュー] A Flea on Schroedinger's Cat

Klaas Landsman, Robin Reuvers|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 72被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、量子測定問題を技術的に解決する手法を提案している。測定結果を量子状態の古典的極限としてモデル化し、$\hbar \to 0$ の極限において二重井戸ハミルトニアンの微小な摂動（「跳蚤」（fleas））に起因する指数的感度を活用している。WKB近似と数値シミュレーションを用いて、断続的摂動が波動関数を明確な古典的状態（例：死んだり生きていたりする猫）に崩壊させることが示され、量子力学自体を変更せず、また恣意的な崩壊仮説に依存しない。

ABSTRACT

We propose a technical reformulation of the measurement problem of quantum mechanics, which is based on the postulate that the final state of a measurement is classical. Unlike the usual formulation (in which the post-measurement state is a unit vector in Hilbert space), our version actually opens the possibility of admitting a purely technical solution within the confines of conventional quantum theory (as opposed to solutions that either modify this theory, or introduce unusual and controversial interpretative rules and/or ontologies). To that effect, we recall a remarkable phenomenon in the theory of Schroedinger operators (discovered in 1981 by Jona-Lasinio et al), according to which the ground state of a symmetric double-well Hamiltonian becomes exponentially sensitive to tiny perturbations of the potential as h -> 0. We show that this instability emerges also from the textbook WKB approximation, extend it to time-dependent perturbations, and study the dynamical transition from the ground state of the double well to the perturbed ground state (in which the cat is typically either dead or alive, depending on the details of the perturbation). Numerical simulations show that adiabatically arising perturbations may (quite literally) cause the collapse of the wave-function in the classical limit. Thus, at least in the context of a simple mathematical model, we combine the technical and conceptual virtues of decoherence (which fails to solve the measurement problem but launches the key idea that perturbations may come from the environment) with those of dynamical collapse models a la GRW (which do solve the measurement problem but are ad hoc), without sharing their drawbacks: single measurement outcomes are obtained (instead of merely diagonal reduced density matrices), and no modification of quantum mechanics is needed.

研究の動機と目的

• 量子測定問題を重ね合わせの問題としてではなく、量子状態の古典的極限の問題として再定式化すること。
• 対称的二重井戸ハミルトニアンのポテンシャルにおける微小な摂動（「跳蚤」）が、$\hbar \to 0$ の極限において基底状態の指数的感度を引き起こし、古典的結果に近いものを得ることを示すこと。
• このような摂動が、断続的時間依存摂動として、重ね合わせ状態（シュレーディンガーの猫）から局在状態（死んだり生きていたりする猫）へと系を動的に駆動できることを示し、標準的量子理論内での測定問題の解決を達成すること。
• 摂動された量子系の古典的極限を通じて、生来の方法でボーン則を回復すること。

提案手法

• 対称的二重井戸ポテンシャルの基底状態とその微小で時間に依存しない摂動への応答を、WKB近似を用いて分析する。
• 「跳蚤」として、ポテンシャル内に局在する微小な摂動を導入し、$\hbar \to 0$ の極限において指数的感度を増幅する仕組みを提示する。
• 摂動を断続的に増加させることで系の時間発展をモデル化し、重ね合わせ状態から局在状態への遷移を追跡する。
• WKB波動関数における比 $D_1/C_4$ を導出し、位相差 $\theta_1 - \theta_2 = \delta$ に基づいて局在化（左/右井戸）を決定する。
• エネルギー準位が摂動下でも明確に定義されたままであるように、量子化条件を適用し、レベルクロスイング特異点が発生するのは孤立点に限ることを避ける。
• 数値シミュレーションを用いて、摂動なしの基底状態から摂動ありの古典的類似基底状態への波動関数の動的崩壊を追跡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定問題を重ね合わせの問題ではなく、量子状態の古典的極限の問題として再定式化できるか？
• RQ2 二重井戸基底状態が微小な摂動（$\hbar \to 0$）に対して示す指数的感度が、量子力学を変更せずに波動関数崩壊のメカニズムを提供するのか？
• RQ3 断続的時間依存摂動が、重ね合わせ状態（シュレーディンガーの猫）から局在的古典的状態（死んだり生きていたりする猫）へと系を動的に駆動できるか？
• RQ4 このメカニズムが、生来の方法で結果の確率に対するボーン則を再現できるか？
• RQ5 局在化と崩壊行動を決定づける位相差 $\delta = \theta_1 - \theta_2$ の役割は何か？

主な発見

• δ = 0 の場合、WKB波動関数は下位エネルギー状態では偶関数（対称）であり、上位エネルギー状態では奇関数（反対称）であり、標準的な教科書結果を確認する。
• δ > 0（右井戸における正の摂動）の場合、$K \to \infty$ の極限で、下位エネルギー状態のWKB波動関数は左に指数的に局在化し、上位エネルギー状態は右に局在化する。これは崩壊を示唆する。
• δ < 0（右井戸における負の摂動）の場合、局在化がシフトする：下位エネルギー状態は右に、上位エネルギー状態は左に局在化する。
• δ ∈ {kπ | k ∈ ℤ \ {0}} の孤立点では、レベルクロスイングが生じ、重ね合わせが保たれるため局在化は発生しない。
• 右井戸における正の摂動が左井戸における負の摂動と等価であることが正しく予測され、局在化行動はそれに応じて逆転する。
• 数値シミュレーションにより、断続的に増加する摂動が、$\hbar \to 0$ の極限で波動関数を明確な古典的状態に崩壊させることが確認され、測定問題に対する動的解法を支持する。