[論文レビュー] A flow of isometric $G_2$-structures. Short-time existence

Leonardo Bagaglini|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、7次元多様体上の等長的$G_2$-構造の新しい幾何的フローを導入し、それによって基礎となるリーマン計量を保存するとともに、ねじれの発散を減少させるように$G_2$-構造を発展させる。このフローは放物型であり、短時間の存在と一意性を有する。その臨界点は発散がゼロのねじれを持つ$G_2$-構造であり、これらがエネルギー汎関数の臨界点であることが示されたが、必ずしも局所的最小値ではない。

ABSTRACT

We introduce a flow of $G_2$-structures defining the same underlying Riemannian metric, whose stationary points are those structures with divergence-free torsion. We show short-time existence and uniqueness of the solution.

研究の動機と目的

• 等長的$G_2$-構造を保存するように$G_2$-構造を発展させる新しい幾何的フローを定義すること。
• フローの臨界点が発散がゼロのねじれテンソルを持つ$G_2$-構造であることを特定すること。
• 放物型偏微分方程式理論を用いて、フローの短時間の存在と一意性を確立すること。
• 等長的$G_2$-構造に制限したエネルギー汎関数の勾配フローとフローを関連付けること。
• 発散がゼロのねじれを持つ$G_2$-構造の無限小および実際の変形のモジュライ空間を分析すること。

提案手法

• 計量$g$を保存するように、$\dot{\varphi}_t = -2\star_t(\mathrm{div}(T^{\varphi_t})\wedge\varphi_t)$という発展方程式により$G_2$-構造のフローを定義する。
• 固定された計量を持つ等長的$G_2$-構造の空間を、射影的スピンターバンドルと同一視することで、スピンorial形式の定式化を可能にする。
• 発展作用素の線形化が強楕円的かつ自己随伴であることを示すことにより、フローが放物型であることを証明する。
• エネルギー汎関数$E(\varphi) = \frac{1}{2}\int_M \star|T^\varphi|^2$の負の勾配フローとして、$L^2$-計量下でのフローを関連付ける。
• 発散の線形化作用素を分析するために、ボッハナー・ラプラシアン$\Delta'$と曲率作用素$R^\varphi$を用いる。
• バナッハ空間の陰関数定理を用いて、発散がゼロのねじれを持つ変形のモジュライ空間を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量を保存し、ねじれの発散をゼロに近づけるような放物型フローが存在するか？
• RQ2 発散がゼロのねじれを持つ$G_2$-構造は、エネルギー汎関数$E(\varphi)$の臨界点か？
• RQ3 発散がゼロのねじれを持つ$G_2$-構造のモジュライ空間は有限次元か？ また、実際の変形の障害は何か？
• RQ4 フローは、等長的$G_2$-構造に制限した$E$の勾配フローとして解釈可能か？ また、完全な勾配フローとはどのように異なるか？
• RQ5 発散がゼロのねじれを持つ$G_2$-構造の無限小変形の空間の構造は何か？

主な発見

• フロー(1)は、正の短時間において一意な解$\varphi_t$を有し、短時間の存在と一意性が確立される。
• フローは、等長的$G_2$-構造に制限したエネルギー汎関数$E(\varphi) = \frac{1}{2}\int_M \star|T^\varphi|^2$の負の勾配フローと同値である。
• $E$の臨界点は局所的最小値ではない。なぜなら、$E$の第二変分が正定値でないからである。
• 発散がゼロのねじれを持つ$G_2$-構造の無限小変形の空間は有限次元であり、その次元は$\dim\,\mathrm{Ker}(\Delta')$以上である。ここで$\Delta'$はボッハナー・ラプラシアンである。
• 実際の変形の障害空間は、$\mathrm{Ker}(\Delta' + R^{\bar{\varphi}})/\mathrm{Ker}(\Delta')$と同型であり、ここで$R^{\bar{\varphi}}$はねじれテンソルを含む曲率作用素である。
• ねじれテンソルがゼロである場合（$T^{\bar{\varphi}} = 0$）、変形は障害なく、次元$b_1(M)$（$M$の第一ベッチ数）の滑らかな多様体をなす。