[論文レビュー] A Fourier transform for Higgs bundles

Juhani Bonsdorff|ArXiv.org|Apr 26, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数閉体上の滑らかな代数曲線上のヒッグス束に対して、フーリエ＝ムカイ変換を導入し、古典的ムカイ変換をヒッグス束の設定に拡張する。安定な次数0のヒッグス束が、ジャンビアンの余接 bundle 上の代数的ベクトル束に変換され、特に、元のヒッグス束がこの変換の射影的コンパクト化から完全に再構成可能であることが示され、逆変換定理が確立される。

ABSTRACT

We define a Fourier-Mukai transform for Higgs bundles on smooth curves and study its properties. It is shown that the transform of a stable zero-degree Higgs bundle is an algebraic vector bundle on the cotangent bundle of the Jacobian of the curve. We show that this transformed bundle admits a natural extension to an algebraic vector bundle over a projective compactification of the base. The main result is that the original Higgs bundle can be reconstructed from this extension. We also compute certain invariants of the transformed bundle.

研究の動機と目的

• 滑らかな genus $ g \geq 2 $ の曲線上のヒッグス束に対して、フーリエ＝ムカイ変換を一般化し、古典的ムカイ変換をヒッグス設定に拡張すること。
• 安定なヒッグス束を、ジャンビアンの余接 bundle 上のベクトル束へのホロモルフィック（代数的）変換を構成すること。
• ベース空間のコンパクト化に自然に拡張された変換を構成し、恣意的なコンパクト化手続きを避けること。
• 元のヒッグス束がその変換像から再構成可能であることを示す逆変換定理を確立すること。

提案手法

• Poincaré シャーフを用いた相対的フーリエ＝ムカイ変換を定義し、導来カテゴリ−内の複体としてのヒッグス束の構造に適合させることで、ヒッグス束に適応する。
• ヒッグス束 $ (E, \theta) $ を複体 $ \mathscr{E} \to \mathscr{E} \otimes \omega_X $ として表現し、積分変換技法の適用を可能にする。
• ヒッグス束の複体とPoincaré シャーフのテンソル積の導来押し出しとして変換を構成し、$ \mathrm{J}(X) \times H^0(X, \omega_X) $ 上の複体を得る。
• 得られた層を、代数的制御が保証される射影的コンパクト化 $ \mathrm{J}(X) \times \mathbb{P}(H^0(X, \omega_X) \oplus \mathbb{C}) $ 上の連接層へ拡張する。
• 1次元部分空間 $ V \subset H^0(X, \omega_X) $ を含む線形部分空間 $ U \times V $ への制限により、元のヒッグス束を回復する。この際、ねじれた写像の余核を分析する。
• $ U \times V \cong \mathrm{Spec}(A[T]) $ 上の余核層の $ A[T] $-加群構造を用い、$ T $ の作用によりヒッグス場 $ \theta $ を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線上のヒッグス束に対して、フーリエ＝ムカイ変換を定義可能か？ これは古典的ムカイ変換を一般化するものか？
• RQ2 安定な次数0のヒッグス束の変換が、ジャンビアンの余接 bundle 上でよい振る舞いを示す代数的ベクトル束をもたらすか？
• RQ3 変換をベース空間のコンパクト化に代数的に拡張可能か？ もし可能であれば、この拡張は再構成に十分か？
• RQ4 変換は可逆か？ また、元のヒッグス束はその変換像から完全に回復可能か？

主な発見

• フーリエ＝ムカイ変換は、安定な次数0のヒッグス束を、曲線のジャンビアンの余接 bundle 上の代数的ベクトル束へ写像する。
• この変換は、自然に代数的拡張を経て、射影的コンパクト化 $ \mathrm{J}(X) \times \mathbb{P}(H^0(X, \omega_X) \oplus \mathbb{C}) $ 上のベクトル束へ拡張可能である。
• 元のヒッグス束は、線形部分空間への制限とねじれた写像の余核の解析により、コンパクト化された変換から再構成可能である。
• この変換は、消えるチャーン類をもつ非自明な安定ヒッグス束のカテゴリ−上で完全忠実である。
• ヒッグス場 $ \theta $ は、$ V \subset H^0(X, \omega_X) $ を1次元部分空間として、$ U \times V \cong \mathrm{Spec}(A[T]) $ 上の余核層の $ A[T] $-加群構造から、$ T $ の作用により回復される。
• 再構成プロセスは、$ g \geq 2 $ のとき canonical 線形系 $ |\omega_X| $ が基点を持たないという事実に依存しており、局所的再構成のグローバルな貼り合わせが可能である。