[論文レビュー] A fractional generalization of the Poisson processes

Francesco Mainardi, Rudolf Gorenflo+1 more|ArXiv.org|Jan 16, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 19被引用数 44

ひとこと要約

本稿では、指数分布の待ち時間分布をミタグ・レフラー関数に置き換えることで、べき乗則減衰を示す非マルコフ過程である分数マーヴァル再生過程の一般化を提案する。生存確率方程式における分数階数β（0 < β < 1）の微分は、キャプート時間微分を用いたマスター方程式を導き、その解はミタグ・レフラー関数の繰り返し微分を含み、ポアソン過程および複合ポアソン過程を分数動力学に一般化する。

ABSTRACT

It is our intention to provide via fractional calculus a generalization of the pure and compound Poisson processes, which are known to play a fundamental role in renewal theory, without and with reward, respectively. We first recall the basic renewal theory including its fundamental concepts like waiting time between events, the survival probability, the counting function. If the waiting time is exponentially distributed we have a Poisson process, which is Markovian. However, other waiting time distributions are also relevant in applications, in particular such ones with a fat tail caused by a power law decay of its density. In this context we analyze a non-Markovian renewal process with a waiting time distribution described by the Mittag-Leffler function. This distribution, containing the exponential as particular case, is shown to play a fundamental role in the infinite thinning procedure of a generic renewal process governed by a power asymptotic waiting time. We then consider the renewal theory with reward that implies a random walk subordinated to a renewal process.

研究の動機と目的

• 分数微分法を用いて古典的ポアソン過程を一般化し、非マルコフ的でべき乗則減衰を示す再生過程をモデル化すること。
• 指数分布に置き換えるミタグ・レフラー分布を用いた、再生理論に基づく分数再生理論を確立すること。
• 時間分数マスター方程式を用いて報酬付き複合ポアソン過程を分数動力学に拡張すること。
• ミタグ・レフラー関数およびラプラス変換を用いて、分数複合過程の解析的解を導出すること。

提案手法

• 生存確率は、古典的ポアソン過程における1階微分を置き換える、階数βのキャプート時間微分を含む分数緩和方程式に従う。
• 待ち時間密度は、β → 1の極限で指数分布に一般化されるミタグ・レフラー関数から導出される。
• カウンティング過程はラプラス変換を用いて解析され、P(N(t) = k) は待ち時間密度のk重畳み込みと生存関数のラプラス畳み込みとして表現される。
• 分数複合過程は、時間に依存するキャプート分数微分を含むマスター方程式でモデル化され、時間発展と空間におけるジャンプダイナミクスが結びつけられる。
• 分数マスター方程式の解は、ミタグ・レフラー関数の繰り返し微分を用いて構成され、ポアソン分布を一般化する。
• べき乗則的漸近的待ち時間を持つ一般の再生過程に対するスプライシング手順は、極限的にミタグ・レフラー分布に収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数微分法を用いて、長距離依存性とべき乗則減衰を含むポアソン過程をどのように一般化できるか。
• RQ2 非マルコフ的再生過程の待ち時間分布を特徴付けるために、ミタグ・レフラー関数が果たす役割は何か。
• RQ3 キャプート分数微分の導入が、生存確率およびカウンティング過程のダイナミクスにどのように影響を与えるか。
• RQ4 報酬付き複合過程を記述する分数マスター方程式の解析的解の形は何か。
• RQ5 分数再生過程は、べき乗則的漸近的待ち時間を有する再生過程にスプライシング手順を適用した極限として導出可能か。

主な発見

• ミタグ・レフラー関数は、べき乗則減衰を示す非マルコフ的再生過程における待ち時間の基本的分布として出現し、指数分布を一般化する。
• 0 < β < 1のとき、生存確率はキャプート微分を含む分数緩和方程式に従い、待ち時間密度のべき乗則減衰を示す。
• 時刻tまでにk回の事象が発生する確率P(N(t) = k) は、ミタグ・レフラー待ち時間密度のk重畳み込みと生存関数のラプラス畳み込みとして与えられる。
• 分数複合過程は、時間分数微分を含むマスター方程式に従い、流体力学的極限では空間時間分数拡散方程式に簡略化される。
• 分数マスター方程式の解は、ミタグ・レフラー関数およびその微分を含む級数として表現される：p(x,t) = ∑_{k=0}^∞ [t^{βk}/k!] E_β^{(k)}(-t^β) w_k(x)。
• ミタグ・レフラー分布は、べき乗則的漸近的待ち時間を有する再生過程に対する無限大スプライシング手順の極限として出現し、分数再生理論におけるその基盤的役割を裏付ける。