[論文レビュー] Fractional Calculus: Integral and Differential Equations of Fractional Order

Rudolf Gorenflo, Francesco Mainardi|ArXiv.org|May 25, 2008

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 41被引用数 1,118

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝リウビル分数階微積分の包括的でありながらもアクセスしやすい入門を提供し、ラプラス変換を用いた分数階積分方程式および微分方程式に焦点を当てている。アーベル型積分方程式および分数階の緩和／振動方程式の解析的解を確立し、その中心的役割を果たすミタグ・レフラー関数の性質を付録で詳細に記載している。

ABSTRACT

We introduce the linear operators of fractional integration and fractional differentiation in the framework of the Riemann-Liouville fractional calculus. Particular attention is devoted to the technique of Laplace transforms for treating these operators in a way accessible to applied scientists, avoiding unproductive generalities and excessive mathematical rigor. By applying this technique we shall derive the analytical solutions of the most simple linear integral and differential equations of fractional order. We show the fundamental role of the Mittag-Leffler function, whose properties are reported in an ad hoc Appendix. The topics discussed here will be: (a) essentials of Riemann-Liouville fractional calculus with basic formulas of Laplace transforms, (b) Abel type integral equations of first and second kind, (c) relaxation and oscillation type differential equations of fractional order.

研究の動機と目的

• 応用科学者にとって理解しやすい形で分数階微積分を提示し、過剰な数学的厳密性を避ける。
• ラプラス変換を用いて線形分数階積分方程式および微分方程式の解析的解を導出する。
• 分数階微分方程式の解においてミタグ・レフラー関数が果たす基本的役割を強調する。
• 理論的分数階微積分と連続体力学分野、特に viscoelasticity（ viscoelasticity）および緩和現象における物理的応用を橋渡しする。
• 分数階作用素およびその解に関する自己完結的参考文献を提供し、ミタグ・レフラー関数に関する付録を支援する。

提案手法

• 正の $\alpha$ に対して、分数階積分および微分のリーマン＝リウビル定義を用いる。
• 分数階積分および微分作用素にラプラス変換を適用し、解法技術を導出する。
• 第一種および第二種のアーベル型積分方程式の解の公式を導出する。
• ラプラス変換ペアを用いて、分数階緩和および振動微分方程式を解く。
• 分数階微分方程式の解構造の核となるミタグ・レフラー関数 $E_{\alpha,\beta}(z)$ に依存する。
• $s^{-\alpha}$ および $s^{1/2}$ の有理関数を含む明示的なラプラス変換ペアを提供し、特殊な場合に誤差関数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラプラス変換をどのように系統的に分数階積分方程式および微分方程式に適用できるか？
• RQ2 分数階のアーベル型積分方程式の解の解析的構造は何か？
• RQ3 分数階緩和および振動方程式は、整数階のそれらとどのように行動や解の形において異なるか？
• RQ4 ミタグ・レフラー関数は、分数階微分方程式の解においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 どのような物理的文脈で分数階微分方程式が自然に出現し、どのように解かれるか？

主な発見

• 第二種のアーベル積分方程式の解はミタグ・レフラー関数 $E_{\alpha,\beta}(z)$ で表され、分数階微積分におけるその中心的役割が確認される。
• $\alpha = 1/2$ の場合、ラプラス変換ペア $\frac{1}{s^{1/2}(s^{1/2} \pm \lambda)} \div e_{1/2}(t; \pm \lambda) = e^{\lambda^2 t} \text{erfc}(\pm \lambda \sqrt{t})$ が導出され、分数階作用素と誤差関数が結びつく。
• 分数階緩和方程式の解はミタグ・レフラー関数 $E_{\alpha}(-\lambda t^\alpha)$ を含み、これは指数的減衰をべき則的減衰へ一般化する。
• 分数階振動方程式の解は $E_{\alpha,\beta}(-\lambda t^\alpha)$ を含み、長期間にわたるべき則的減衰を示す減衰振動的挙動を示す。
• ラプラス変換技法により、定数係数を有する線形分数階微分方程式の正確な解が、既知の変換ペアを用いて導出可能である。
• ミタグ・レフラー関数は、カプートとマインァルディが示したように、 viscoelasticity モデルにおいて自然に出現し、緩和過程における物理的妥当性を確認する。