[論文レビュー] A Fredholm transformation for the rapid stabilization of a degenerate parabolic equation

Ludovick Gagnon, Pierre Lissy+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、ディリクレ境界制御を伴う退化放物型PDEの急速な指数的安定化を達成するために、フリードホルム積分変換を提示する。不安定なシステムを、ある双曲型PDEを解くカーネルを介して、既知で任意に大きな減衰率を持つターゲットシステムへ写像することにより、著者らは変換がエネルギー空間において適切に定義され、連続的かつ可逆であることを証明し、元のシステムの急速な安定化を保証する。

ABSTRACT

This paper deals with the rapid stabilization of a degenerate parabolic equation with a right Dirich-let control. Our strategy consists in applying a backstepping strategy, which seeks to find an invertible transformation mapping the degenerate parabolic equation to stabilize into an exponentially stable system whose decay rate is known and as large as we desire. The transformation under consideration in this paper is Fredholm. It involves a kernel solving itself another PDE, at least formally. The main goal of the paper is to prove that the Fredholm transformation is well-defined, continuous and invertible in the natural energy space. It allows us to deduce the rapid stabilization.

研究の動機と目的

• 右側のディリクレ制御を伴う退化放物型PDEの急速な指数的安定化を達成すること。
• 自然エネルギー空間におけるフリードホルム変換の適切な定義と可逆性を確立すること。
• バックステッピング法を、バナッハ型カーネル（ボルテラ型カーネルではなく）を用いて退化PDEに拡張すること。
• 安定化されたシステムの減衰率を任意に大きくできることを示すこと。
• フリードホルム変換から生じるカーネルPDEの厳密な解析を提供すること。

提案手法

• 元の退化放物型PDEを、負のポテンシャル項を有する指数的安定性を有するターゲットシステムに写像するバックステッピング法を適用する。
• バックステッピング設計から導かれる双曲型PDEを解くカーネルを持つフリードホルム積分変換を構築する。
• 関数解析的手法とスペクトル理論を用いて、カーネルの存在性と正則性をエネルギー空間で証明する。
• 作用素論的議論とスペクトル解析を用いて、変換の連続性と可逆性を確立する。
• 変換の可逆性を用いて、ターゲットシステムからの指数的安定性を元のシステムに転送する。
• 退化演算子の固有関数および固有値の構造を活用して、カーネルの性質を分析し、特異性を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界制御を伴う退化放物型PDEの急速な安定化のためのフリードホルム変換を、厳密に構築可能か？
• RQ2 PDEを解くフリードホルムカーネルは、自然エネルギー空間において適切に定義され、連続的か？
• RQ3 フリードホルム変換の可逆性は、元のシステムの指数的安定性を保証するか？
• RQ4 カーネル設計を用いて、安定化されたシステムの減衰率を任意に大きくできるか？
• RQ5 退化PDEの文脈において、フリードホルム変換の可逆性を保証する条件は何か？

主な発見

• 退化放物型PDEを指数的安定なターゲットシステムに写像するフリードホルム変換は、エネルギー空間において適切に定義される。
• 変換は連続的かつ可逆的であり、安定性が変換のもとでも保たれることを保証する。
• フリードホルム変換のカーネルは双曲型PDEを満たし、スペクトル解析を用いてその正則性が確立される。
• ターゲットシステムにおけるパrameter λ を十分に大きく選ぶことにより、安定化されたシステムの減衰率を任意に大きくできる。
• 可逆性の証明は、スペクトル理論と正則関数計算に依拠しており、特に演算子の非自明な核を有する場合に顕著である。
• 特に x=0 における退化が引き起こす課題を、注意深く構築されたカーネルとエネルギー空間フレームワークにより、効果的に克服した。