[論文レビュー] A Frobenius homomorphism for Lusztig's quantum groups over arbitrary roots of unity

Simon Lentner|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ルシュティグの量子群における根の単位根におけるフロベニウス準同型を、素数でない次数に対しても一般化する。ニchlズ代数理論を用いて、根の単位根の次数が素数でない場合でも、有限次元の核（小さな量子群）を構成する。核と像のリー代数が元のものと異なることが明らかになり、双対根系や歪みたカテゴリが含まれる。特に $G_2$ で $q = \pm i$ の場合、$G_2$ の根系から $A_3$ の根系が得られる、奇妙な例が存在する。

ABSTRACT

For a finite dimensional semisimple Lie algebra and a root of unity, Lusztig defined an infinite dimensional quantum group of divided powers. Under certain restrictions on the order of the root of unity, he constructed a Frobenius homomorphism with finite dimensional Hopf kernel and with image the universal enveloping algebra. In this article we define and describe the Frobenius homomorphism for arbitrary roots of unity by systematically using the theory of Nichols algebras. In several new exceptional cases the Frobenius-Lusztig kernel is associated to a different Lie algebra than the initial Lie algebra. Moreover, the Frobenius homomorphism often switches short and long roots, and may produce Lie algebras in a symmetrically braided category.

研究の動機と目的

• ルシュティグの量子群における根の単位根におけるフロベニウス準同型を、素数の次数に限定されない範囲にまで拡張すること。
• 任意の根の単位根に対して、ニchlズ代数理論を用いてフロベニウス＝ルシュティグ核を体系的に記述すること。
• 核と像のリー代数が元のものと異なる場合、特に双対根系や対称的braidedカテゴリを含めて特定すること。
• \ell が 2 または 3 で割り切れる場合に、小さな量子群の定義に生じる矛盾を解消すること。
• 核と像に同型でないリー代数をもつ量子群の拡張を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• フロベニウス＝ルシュティグ核 $u_q^\mathcal{L}(\mathfrak{g})^+$ を、ルシュティグの量子群の正部分の商として、ニchlズ代数理論を用いて構成する。
• コラディカル拡張と整数的形を用いて、任意の根の単位根における有理量子群 $U_q^\mathcal{L}(\mathfrak{g})$ を特殊化する。
• 小さな量子群における随伴作用と根系の軌道を用いて、核の構造を分析する。
• セール関係式と量子二項係数を用いて、核内での交換子を計算し、非自明な関係が消えないことを確認する。
• ホップ代数の構造を用いて、短い完全列を定義する： $u_q^\mathcal{L}(\mathfrak{g}^{(0)})^+ \to U_q^\mathcal{L}(\mathfrak{g})^+ \to U(\mathfrak{g}^{(\ell)})^+$。
• Pre-Nichols代数の順次双対と図形的自己同型を用いて、このような拡張の新しい例を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルシュティグのフロベニウス準同型を、素数の次数に限定されない任意の根の単位根に一般化する方法は何か？
• RQ2 \ell が 2 または 3 で割り切れる場合、フロベニウス＝ルシュティグ核の構造は何か？また、標準的定義とはどのように異なるか？
• RQ3 フロベニウス準同型が双対根系（例：$B_n \leftrightarrow C_n$）を持つリー代数へ写像する場合、どのようなケースがあるか？
• RQ4 核と像のリー代数が対称的braidedカテゴリに属する場合があるか？その表現論への影響は何か？
• RQ5 \mathfrak{g} = G_2, q = \pm i の奇妙なケースでは、核が根系 $A_3$ をもつが、元の $G_2$ の根とは異なる。この現象の意味は何か？

主な発見

• 任意の根の単位根に対して、有限次元の核 $u_q^\mathcal{L}(\mathfrak{g}^{(0)})^+$ をもつフロベニウス準同型が存在し、ルシュティグの構成を一般化する。
• \ell が 2 または 3 で割り切れる場合、核 $u_q^\mathcal{L}(\mathfrak{g}^{(0)})^+$ は元の $\mathfrak{g}$ とは異なるリー代数に対応する可能性があり、$B_n \leftrightarrow C_n$ のような双対根系を含む。
• $\mathfrak{g} = G_2, q = \pm i$ の場合、核 $u_q^\mathcal{L}(\mathfrak{g}^{(0)})^+$ は根系 $A_3$ をもち、元の $G_2$ の根とは異なる。
• フロベニウス準同型は短い根と長い根を入れ替えることができ、像のリー代数 $\mathfrak{g}^{(\ell)}$ は対称的braidedカテゴリに属する可能性がある。
• 核内では交換子 $[E_{112}^{(2)}, E_2^{(2)}]$ はゼロだが、$[E_1^{(2)}, E_{112}^{(2)}]$ は $q = \pm i$ で $4E_{1112}^{(2)} \neq 0$ に評価され、非自明な関係が確認される。
• この構成により、有限次元の指向的ホップ代数 $h$ と普遍包あくり代数 $U$ を用いた、無限次元ホップ代数の拡張 $H$ の新しい例が得られる。$\mathfrak{g}^{(0)} \neq \mathfrak{g} \neq \mathfrak{g}^{(\ell)}$ のケースを含む。