[論文レビュー] Logarithmic CFTs connected with simple Lie algebras

Boris Feigin, I. Yu. Tipunin|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 55

ひとこと要約

この論文は、単純なルート系を持つ半単純リー代数に関連する対数的 conformal field theories (LCFTs) を、旗多様体 G/B 上のバンドル構成を用いて構築する。頂点 operator 代数 W を層の層の全体切断として実現し、Lefschetz 固定点公式を用いて特徴を計算することで、theta 関数と二項係数を用いた、非可約モジュール特徴の明示的表現を導出する。これは既知の sl(2) の結果を一般化し、モジュラー性および量子群双対性のための枠組みを提供する。

ABSTRACT

For any root system corresponding to a semisimple simply-laced Lie algebra a logarithmic CFT is constructed. Characters of irreducible representations were calculated in terms of theta functions.

研究の動機と目的

• 単純なルート系を持つ半単純リー代数から、sl(2) の場合を超えて対数的 CFT を体系的に一般化すること。
• G/B 上の層バンドルの全体切断として得られる頂点 operator 代数 W を構築し、(1,p) モデルの W-代数を一般化すること。
• Lefschetz 固定点公式と theta 関数を用いて、W-モジュールの特徴を計算すること。
• 特徴と量子群の表現理論およびモジュラー不変性との関係を確立すること。
• 非単純なルート系を持つリー代数および超代数への結果の拡張のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 単純なルート系を持つリー群 G のボレル部分群 B を用いて、L を格子 VOA とし、ξ = L ⊗_B G と定義される層 ξ の全体切断として頂点 operator 代数 W を構築する。
• 層 ξ の等変オイラー特徴を Lefschetz 固定点公式を用いて計算し、それを非可約 W-モジュールの特徴と特定する。
• 特徴を重み格子のベクトル ω ∈ Γ^∨⁺ に関する和として表現し、theta 関数 Θ^ω_λ(q) の導関数と二項係数を含む。
• 双対重み格子上の和を用いて構造定数 ζ_ω を定義し、符号および正の根に関する積を含む。
• 既知の W-代数およびスクリーニング作用素の結果を活用して、構成および特徴式の正当化を行う。
• G = SL(2) の場合にこの手法を適用し、既知の (1,p) モデルの特徴を回復することで、一般枠組みの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、幾何学的およびコホモロジー的手段を用いて、単純なルート系を持つ半単純リー代数から対数的 CFT を体系的に構築できるか？
• RQ2 これらの一般化された LCFT における非可約モジュールの特徴の明示的形は何か？
• RQ3 Lefschetz 公式から得られる特徴は、theta 関数およびモジュラー性とどのように関係するか？
• RQ4 スクリーニング作用素およびその核は、頂点 operator 代数 W を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 この構成は、非単純なルート系を持つリー代数およびリー超代数へと拡張可能か？

主な発見

• 非可約 W-モジュールの特徴は、χ_λ(q) = 1/η(q)^ℓ × ∑_{ω∈Γ^∨⁺} [ζ_ω / ∏_i ((α_i,ω)!)] × Θ^ω_λ(q) で与えられ、ここで Θ^ω_λ(q) は z=1 における theta 関数の ω 階微分である。
• 構造定数 ζ_ω は、双対重み格子上の和として表され、符号、二項係数、および正の根に関する積を含む。
• G = SL(2) の場合、特徴式は既知の (1,p) モデルの結果を回復し、構成の整合性を確認する。
• 非可約 W-モジュールは、非可約 g-モジュールおよび W-モジュールの直和に分解され、不変部分モジュールが存在しないことを示唆する。
• この手法により、特徴関数におけるモジュラー S および T 変換を計算可能であり、 conformal block 代数における有限次元中心の存在を示唆する。
• この構成は任意の単純なルート系を持つリー代数へ一般化可能であり、量子群双対性およびモジュラー不変性の研究の基盤を提供する。