[論文レビュー] A Functorial Symplectic Instanton Homology via Traceless Character Varieties

Henry T. Horton|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Geometric and Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ヘーガード分割に関連する SU(2) トレースレス表現空間のラグランジュ・フローリングホモロジーを用いて、閉じた向きつけられた3次元多様体 Y に対して関手的シンプレクティックインスタントンホモロジー SI(Y) を構成する。これはヘーガード分割に関して自然性を保証し、同型類ではなく明確な不変量を提供する。さらに、r > 2 に対して SU(r) へ拡張され、3次元多様体間のコボルディズムに関して関手的枠組みが得られる。

ABSTRACT

Using ideas pioneered by Wehrheim and Woodward, we associate to any closed, oriented $3$-manifold $Y$ a finitely generated abelian group $\mathrm{SI}(Y)$ obtained from (quilted) Lagrangian Floer homology in a certain moduli space of $\mathrm{SU}(2)$-representations associated to a special kind of handlebody decomposition of $Y$. We show that $\mathrm{SI}(Y)$ is natural with respect to Heegaard splittings of $Y$, so that it may be considered as a concrete group as opposed to an isomorphism class of a group. By adapting constructions of Ozsv\'ath and Szab\'o from Heegaard Floer homology to our setting, we show how to obtain functorial invariants of cobordisms between connected $3$-manifolds. We also generalize the construction to the case of $\mathrm{SU}(r)$-representations, $r > 2$.

研究の動機と目的

• 閉じた向きつけられた3次元多様体 Y に対して、同型類ではなく明確な群としての自然なシンプレクティックインスタントンホモロジー不変量 SI(Y) を定義すること。
• オルツヴァースとツァボーのヘーガード・フローリングホモロジー技法を、シンプレクティックインスタントン設定へ適応すること。
• SU(2) からの構成を r > 2 に対して SU(r) へ一般化し、不変量の範囲を広げること。
• このホモロジー理論を用いて、連結な3次元多様体間のコボルディズムに関して関手性を確立すること。
• トレースレス SU(r)-表現のモジュライ空間を通じて、インスタントンホモロジーの幾何的・位相的枠組みを提供すること。

提案手法

• Wehrheim と Woodward のクイルトド・ラグランジュ・フローリングホモロジー枠組みを用いて、SU(2)-表現のモジュライ空間において SI(Y) を定義する。
• Y の特別なハンドル体分割から SI(Y) を構成し、ヘーガード分割に関して自然性を保証する。
• ホモロジー群をハンドル体分割に関連する2つのラグランジュ部分多様体のラグランジュ・フローリングホモロジーとして定義する。
• SU(2) を SU(r) に置き換えることで、SU(r)-表現への構成を一般化する。
• Ozsváth–Szabó のコボルディズム写像をシンプレクティックインスタントン設定へ適応し、コボルディズムに関して関手性を保証する。
• 得られる不変量が、補助的選択に依存せず、自然同型を除いて有限生成アーベル群であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘーガード分割を用いて、同型類ではなく明確な群としてシンプレクティックインスタントンホモロジーを定義できるか？
• RQ2 コボルディズムに関して、シンプレクティック設定におけるインスタントンホモロジーの関手性はどのように確立できるか？
• RQ3 SU(2) の構成を r > 2 に対してどの程度 SU(r) へ一般化できるか？
• RQ4 トレースレス表現空間は、適切に定義されたインスタントンホモロジー不変量を定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 Wehrheim と Woodward のクイルトド・フローリングホモロジー技法は、関手的3次元多様体不変量の構成にどのように適用できるか？

主な発見

• SI(Y) は、任意の閉じた向きつけられた3次元多様体 Y に対して、自然に関連する有限生成アーベル群であり、選択に依存せず、自然同型を除いて一意である。
• 構成はヘーガード分割に関して自然であり、SI(Y) が同型な群の類ではなく、明確な群として一意に定義されることを意味する。
• Ozsváth–Szabó のコボルディズム写像枠組みをシンプレクティックインスタントン設定に適応することで、連結な3次元多様体間のコボルディズムに関して関手的不変量が得られる。
• 構成は r > 2 に対して SU(r)-表現へ一般化され、より高いランクの構造群へ不変量が拡張される。
• 得られるホモロジー理論はコボルディズムに関して関手的であり、シンプレクティックインスタントン文脈におけるトポロジカル量子場理論に類似した構造を提供する。
• トレースレス表現空間の使用により、モジュライ空間がラグランジュ・フローリングホモロジーに適しており、SU(r)-表現の本質的データを的確に捉える。