[論文レビュー] A sheaf-theoretic model for SL(2,C) Floer homology

Mohammed Abouzaid, Ciprian Manolescu|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 56被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、ヘegaard面の表現多様体上のd-臨界的局所と perverse sheaf による消失サイクルを用いて、SL(2,C)インスタントン Floer homology の層的理論的モデルを構築する。可縮表現に対応する滑らかな開部分集合における2つの複素ラグランジュ部分多様体の交わりに perverse sheaf を関連させることで、その層のハイパーグロメトリが3次元多様体の不変量であることを証明し、Heegaard分割に依存しないことを示す。これにより、ゲージ理論を用いない代数的モデルが得られる。

ABSTRACT

Given a Heegaard splitting of a three-manifold Y, we consider the SL(2,C) character variety of the Heegaard surface, and two complex Lagrangians associated to the handlebodies. We focus on the smooth open subset corresponding to irreducible representations. On that subset, the intersection of the Lagrangians is an oriented d-critical locus in the sense of Joyce. Bussi associates to such an intersection a perverse sheaf of vanishing cycles. We prove that in our setting, the perverse sheaf is an invariant of Y, i.e., it is independent of the Heegaard splitting. The hypercohomology of this sheaf can be viewed as a model for (the dual of) SL(2,C) instanton Floer homology. We also present a framed version of this construction, which takes into account reducible representations. We give explicit computations for lens spaces and Brieskorn spheres, and discuss the connection to the Kapustin-Witten equations and Khovanov homology.

研究の動機と目的

• SL(2,C)インスタントン Floer homology の代数的かつゲージ理論を用いないモデルの構築。
• 3次元多様体における平坦な SL(2,C) 接続のモジュライ空間の非コンパクト性と特異点を克服すること。
• 得られた不変量が Heegaard分割に依存しないことを証明し、3次元多様体の位相的不変量として定義すること。
• フレーム付きバージョンへの拡張を行い、Khovanov homology や Kapustin-Witten 方程式と関連付けること。
• レンズ空間と Brieskorn 球面に対する明示的計算を行い、TQFT やカテゴライゼーションとの関係を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、Heegaard面 Σ の SL(2,C) 表現多様体を検討し、可縮表現に対応する開部分集合 X_irr(Σ) に注目する。
• Heegaard分割の2つのハンドル体に対応する2つの複素ラグランジュ部分多様体 L₀ と L₁ を定義し、その交わりは X_irr(Y) に微分同相であることを示す。
• ラグランジュ部分多様体の交わりの導来構造を用いて、Joyce の定義における向き付けられた d-臨界的局所として L₀ ∩ L₁ が示される。
• Bussi の理論を用いて、この d-臨界的局所に消失サイクルの perverse sheaf を関連付ける。これは quasi-isomorphism を除いて一意に定まる。
• この perverse sheaf のハイパーグロメトリを、SL(2,C) インスタントン Floer homology の双対として提案する。
• d-臨界構造の性質とグリューニングの議論により、異なる Heegaard分割に対してこの構成が不変であることが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL(2,C) インスタントン Floer homology は、偏微分方程式の解の数え上げを避けて、代数的に定義可能か？
• RQ2 表現多様体におけるラグランジュ部分多様体の交わりに付随する消失サイクルの perverse sheaf は、3次元多様体の異なる Heegaard分割に対して不変か？
• RQ3 この層的理論的構成は、Kapustin-Witten 方程式および Khovanov homology の物理的提案とどのように関係するか？
• RQ4 フレーム付きバージョンを用いて、可縮表現を含むようにこの不変量を拡張可能か？
• RQ5 Zentner の可縮表現の存在に関する結果を踏まえ、不変量 HP*(Y) はホモロジー球面の中で 3次元球面 S³ を同定可能か？

主な発見

• ラグランジュ部分多様体の交わりに付随する消失サイクルの perverse sheaf のハイパーグロメトリは、Heegaard分割の選択に依存しない3次元多様体 Y の不変量である。
• この構成は、非コンパクトなモジュライ空間の直接的なゲージ理論的解析を避ける、完全に代数的な SL(2,C) インスタントン Floer homology のモデルを提供する。
• レンズ空間と Brieskorn 球面に対して明示的計算が行われ、これらのケースで既知の不変量と整合することが示された。
• フレーム付きバージョンは可縮表現を組み込み、オーロラ構造やねじれ表現多様体への拡張を可能にする。
• 不変量は3+1次元TQFTの一部であると予想され、Kapustin-Witten 方程式を介してジョーンズ多項式のカテゴライゼーションを担う可能性がある。
• HP*(Y) がホモロジー球面の中で S³ を検出可能かどうかは、まだ未解決のまま残っているが、Zentner の非自明な表現の存在に関する結果がその道筋を示唆している。