[論文レビュー] A Furstenberg type formula for the speed of distance stationary sequences

Matías Carrasco, Pablo Lessa+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、距離定常確率的系列の速度に関するフルステンベルク型の公式を確立し、リーマン対称空間上の確率的ウォークにおける線形ドリフトの解析を可能にする。著者らはこれを双曲空間におけるポアソン・デローニャン確率的ウォークに適用し、ポアソン過程の強度が0に近づくにつれ、調和測度が次元低下を示すことを証明した—そのハウスドルフ次元は $d-1$ より厳密に小さい。

ABSTRACT

We prove a formula for the speed of distance stationary random sequences. A particular case is the classical formula for the largest Lyapunov exponent of an i.i.d. product of two by two matrices in terms of a stationary measure on projective space. We apply this result to Poisson-Delaunay random walks on Riemannian symmetric spaces. In particular, we obtain sharp estimates for the asymptotic behavior of the speed of hyperbolic Poisson-Delaunay random walks when the intensity of the Poisson point process goes to zero. This allows us to prove that a dimension drop phenomena occurs for the harmonic measure associated to these random walks. With the same technique we give examples of co-compact Fuchsian groups for which the harmonic measure of the simple random walk has dimension less than one.

研究の動機と目的

• 距離定常系列の速度に関する一般化されたフルステンベルク型の公式を、確率的ホロファンクションを用いて導出すること。
• リーマン対称空間上のポアソン・デローニャン確率的ウォークが次数バイアスのもとで距離定常であることを確立すること。
• ポアソン過程の強度が0に近づく際の双曲空間におけるポアソン・デローニャン確率的ウォークの漸近的スピードを分析すること。
• 低強度の下で、このようなウォークの調和測度が次元低下を示すことを証明すること—そのハウスドルフ次元は $d-1$ より厳密に小さい。
• 単純なランダムウォークの調和測度の次元が1未満となる、ココンパクトなフクシアン群の例を構成すること。

提案手法

• 距離定常系列の過去の尾に基づいて確率的ホロファンクション $\xi$ を定義し、線形ドリフトを捉える。
• 期待速度 $\mathbb{E}[\ell] = -\mathbb{E}[\xi(x_0) - \xi(x_1)]$ を証明し、リャプノフ指数に対するフルステンベルクの公式を一般化する。
• 次数バイアスを用いて、ポアソン・デローニャン確率的ウォークが距離定常であることを示し、速度公式の適用を可能にする。
• ゼロ・ワン法を用いてウォークのスピードのエルゴディシティを確立し、グラフスピードと環境スピードがほとんど確実に定数であることを証明する。
• デローニャン辺に関する幾何学的・確率的推定を用いて、$\lambda \to 0$ のときの環境スピード $\ell_\lambda$ の鋭い漸近的推定を導出する。
• 速度公式とエントロピーの上限を適用し、$\dim(\nu_\lambda) \leq h_\lambda / \ell_\lambda$ を得る。これにより、$h_\lambda / \ell_\lambda \to (d-1)/2$ のとき次元低下が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立同分布の行列積に限らない距離定常系列に対し、フルステンベルク型の公式を一般化できるか？
• RQ2 ポアソン過程の強度 $\lambda$ が0に近づく際、双曲空間におけるポアソン・デローニャン確率的ウォークのスピードの漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 低強度の下で、双曲空間上におけるポアソン・デローニャン確率的ウォークの調和測度は次元低下を示すか？
• RQ4 どのココンパクトなフクシアン群に対して、単純なランダムウォークの調和測度の次元が1未満となるか？
• RQ5 対称空間上におけるポアソン・デローニャンウォークのグラフスピードと環境スピードの関係はいかなるものか？

主な発見

• 距離定常系列のスピードは、$\mathbb{E}[\ell] = -\mathbb{E}[\xi(x_0) - \xi(x_1)]$ を満たす。ここで $\xi$ は過去の尾から導かれる確率的ホロファンクションである。
• i.i.d. $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 行列積の下では、これはトップリャプノフ指数に対する古典的フルステンベルク公式を回復する。
• 双曲空間におけるポアソン・デローニャン確率的ウォークの環境スピード $\ell_\lambda$ は、$\lambda \to 0$ のとき $\ell_\lambda \sim \frac{1}{2} \log(\lambda^{-1})$ を満たす。
• ウォークのグラフスピードは $\lambda \to 0$ のとき、最大の可能な値1に近づく。これは[BPP14]で提起された未解決問題を解決する。
• 調和測度 $\nu_\lambda$ の次元は、$\limsup_{\lambda \to 0} \dim(\nu_\lambda) \leq \frac{d-1}{2}$ を満たし、次元低下を証明する。
• 低強度の双曲空間におけるポアソン・デローニャンウォークでは、ほとんど確実に $\dim(\nu_\lambda) < d-1$ が成り立つ。これは次元低下現象を確認する。