[論文レビュー] A Galois connection between classical and intuitionistic logics. I: Syntax

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 51被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、直観主義的論理（QH）と古典的論理（QC）の両方の保守的拡張としてのQHCを導入し、新たなモダリティ接続詞 $\nabla$ と $\bigcirc$ を用いて、QHとQCのLindenbaum順序集合の間にガロア接続を確立する。主な貢献は、知識-それ自身（命題）と知識-どう（問題）という二つの数学的知識のモードを、双対的リトラクション写像を通じて統一する形式的体系を構築することである。コルモゴロフの二重否定翻訳によりQHはQHCに埋め込まれ、ゲーデルの証明可能性翻訳によりQC+$\bigcirc\nabla$ はQHCに埋め込まれ、QS4と同定される。

ABSTRACT

In a 1985 commentary to his collected works, Kolmogorov remarked that his 1932 paper "was written in hope that with time, the logic of solution of problems [i.e., intuitionistic logic] will become a permanent part of a [standard] course of logic. A unified logical apparatus was intended to be created, which would deal with objects of two types - propositions and problems." We construct such a formal system, as well as its predicate version QHC, which is a conservative extension of both the intuitionistic predicate calculus QH and the classical predicate calculus QC. The only new connectives ? and ! of QHC induce a Galois connection (i.e., a pair of adjoint functors) between the Lindenbaum posets (i.e. the underlying posets of the Lindenbaum algebras) of QH and QC. Kolmogorov's double negation translation of propositions into problems extends to a retraction of QHC onto QH; whereas Goedel's provability translation of problems into modal propositions extends to a retraction of QHC onto its QC+(?!) fragment, identified with the modal logic QS4. The QH+(!?) fragment is an intuitionistic modal logic, whose modality !? is a strict lax modality in the sense of Aczel - and thus resembles the squash/bracket operation in intuitionistic type theories. The axioms of QHC attempt to give a fuller formalization (with respect to the axioms of intuitionistic logic) to the two best known contentual interpretations of intiuitionistic logic: Kolmogorov's problem interpretation (incorporating standard refinements by Heyting and Kreisel) and the proof interpretation by Orlov and Heyting (as clarified by Gödel). While these two interpretations are often conflated, from the viewpoint of the axioms of QHC neither of them reduces to the other one, although they do overlap.

研究の動機と目的

• 直観主義的論理（知識-それ自身）と古典的論理（知識-どう）の両方を等価に扱う統一的論理的枠組みを形式化すること。これは、コルモゴロフの、両者に共通する論理的道具を用いるというビジョンを実現する。
• 直観主義的述語計算（QH）と古典的述語計算（QC）の両方の保守的拡張QHCを構築し、それらの証明論的構造を保つこと。
• QHとQCのLindenbaum順序集合の間に、新たな接続詞 $\nabla$ と $\bigcirc$ を用いてガロア接続を確立することで、直観主義的推論と古典的推論の双対性を形式化すること。
• コルモゴロフの問題解釈と、オルロフおよびハイティングによる証明解釈という、歴史的に異なる二つの直観主義論理の解釈を、一方が他方へ還元されない形で、同一の形式的体系内に統合すること。
• コルモゴロフの二重否定翻訳とゲーデルの証明可能性翻訳を、QHCからQHおよびQC+$\bigcirc\nabla$ への完全なリトラクション写像へと拡張し、後者をモダリティ論理QS4と同定すること。

提案手法

• 二つの新たなモダリティ接続詞を導入する：$\nabla$（$\bigcirc$ の双対）は命題を問題へ写像し、$\bigcirc$ は問題をモダリティ命題へ写像する。
• QHとQCの両方の保守的拡張としてQHCを定義し、$\nabla$ と $\bigcirc$ 間の相互作用を形式化する公理を追加することで、QHとQCのLindenbaum順序集合にガロア接続を誘導する。
• コルモゴロフの二重否定翻訳を用いて、QHCからQHへのリトラクションを構成し、$\nabla\bigcirc p \to p$ がQHで証明可能であることを示す。これにより、直観主義論理がリトラクションとして埋め込まれる。
• QHCからQC+($\nabla\bigcirc$)へのリトラクションを構成し、ゲーデルの証明可能性翻訳を用いて、この部分論理がモダリティ論理QS4と同型であることを示す。
• QHCの公理を用いて、コルモゴロフの問題解釈（$\nabla$ を通じて）と証明解釈（$\bigcirc$ を通じて）を形式化し、両者が論理的に区別可能でありながらも関連していることを保証する。
• 順序論的双対性を適用し、QHとQCのLindenbaum順序集合を圏とみなして、$\nabla$ と $\bigcirc$ を通じて、それらの間の随伴関手（ガロア接続）を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直観主義的述語論理と古典的述語論理の両方を保守的に拡張し、それらの別々の意味的解釈を保ちながら、単一の形式的体系を構築できるか。
• RQ2 命題（知識-それ自身）と問題（知識-どう）の双対性を、直観主義的論理と古典的論理の基礎となる順序集合の間にガロア接続を誘導するモダリティ演算子を用いて、どのように形式化できるか。
• RQ3 コルモゴロフの問題解釈と証明解釈が、一方が他方へ還元されない形で、統一された体系内でどの程度共存可能か。
• RQ4 ゲーデルの証明可能性翻訳とコルモゴロフの二重否定翻訳を、共通の体系QHCからQHおよびQC+($\bigcirc\nabla$)への完全なリトラクション写像へと拡張できるか。
• RQ5 QHCにおけるモダリティ $\bigcirc\nabla$ の正確な論理的役割は何か。また、直観主義的型理論におけるスラッシュ/ブラケット演算子（squash/bracket operation）とどのように関係するか。

主な発見

• QHCはQHおよびQCの両方の保守的拡張であり、直観主義的論理および古典的論理のすべての定理が、拡張された体系内でも有効であることが保証される。
• 接続詞 $\nabla$ と $\bigcirc$ は、QHとQCのLindenbaum順序集合の間にガロア接続を誘導し、命題と問題の双対性を形式化する。
• コルモゴロフの二重否定翻訳は、QHCからQHへのリトラクションへと拡張され、$\nabla\bigcirc p \to p$ がQHで証明可能である。
• ゲーデルの証明可能性翻訳は、QHCから部分論理QC+($\nabla\bigcirc$)へのリトラクションへと拡張され、この部分論理はモダリティ論理QS4と同定される。
• QH+($\bigcirc\nabla$)の部分論理は、直観主義的モダリティ論理であり、そのモダリティ $\bigcirc\nabla$ は「厳密なラックスモダリティ」（strict lax modality）として機能し、直観主義的型理論におけるスラッシュ/ブラケット演算子に類似している。
• コルモゴロフの問題解釈と証明解釈という二つの内容的解釈は、QHCにおいて一方が他方へ還元されないが、$\nabla$ と $\bigcirc$ を通じて共有される枠組みによって統合されている。