[論文レビュー] A Gel'fand-type spectral radius formula and stability of linear constrained switching systems

Xiongping Dai|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2011

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形スイッチング系におけるスイッチング制約下で、エルゴディック理論を用いて、連合スペクトル半径が一般化スペクトル半径に等しいことを証明し、Gel'fand型スペクトル半径公式を確立する。主な貢献は、コンパクトな部分シフト上の不変測度を用いて、非代数的かつ制約付きのスイッチング信号の部分集合へ、Berger-Wangの公式を拡張した絶対的指数的安定性の基準を確立することにある。

ABSTRACT

Using ergodic theory, in this paper we present a Gel'fand-type spectral radius formula which states that the joint spectral radius is equal to the generalized spectral radius for a matrix multiplicative semigroup $\bS^+$ restricted to a subset that need not carry the algebraic structure of $\bS^+$. This generalizes the Berger-Wang formula. Using it as a tool, we study the absolute exponential stability of a linear switched system driven by a compact subshift of the one-sided Markov shift associated to $\bS$.

研究の動機と目的

• 代数的構造を保証しないスイッチング制約を有する線形スイッチング系へ、Berger-Wangの公式を一般化すること。
• 一方向マルコフシフトの不変でコンパクトな部分集合に制限された行列半群のGel'fand型スペクトル半径公式を確立すること。
• エルゴディック理論的ツールとスペクトル半径の等価性を用いて、制約付き線形スイッチング系の絶対的指数的安定性を調査すること。
• 制約下でスペクトル半径と連合スペクトル半径の等価性に基づく安定性の十分条件を提示すること。

提案手法

• スイッチング系に付随する行列族に関連する一方向マルコフシフトのコンパクト部分シフト上の不変測度を、エルゴディック理論を用いて分析する。
• 閉じて不変な部分集合 Λ に制限されたスイッチング信号の連合スペクトル半径と一般化スペクトル半径を定義する。
• 部分加法的エルゴディック定理を適用し、典型軌道に沿った行列積の成長率をスペクトル半径に関連付ける。
• 類似変換によるブロック下三角化技術を用いて、問題を次元が低い部分系に還元する。
• 行列次元に関する帰納法と積の有界性の仮定を用い、スペクトル半径が1を超える場合に矛盾を導く。
• Λ 内の周期的語の構造と不変測度の存在を活用し、制約付き行列積のノルムとスペクトル半径を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 許容されるスイッチング信号がスイッチング空間の非代数的でコンパクトな不変部分集合を形成する場合、連合スペクトル半径と一般化スペクトル半径の等価性は成立するか？
• RQ2 制約集合 Λ 内で周期的スイッチング信号が稠密である場合、周期的語に制限した場合でもスペクトル半径公式は依然として成り立つか？
• RQ3 定理Bにおける安定性の同値性は、一般化スペクトル半径が1であるという仮定なしに、より一般の系へ拡張可能か？
• RQ4 行列族が有界である場合に、スペクトル半径のGel'fand型公式は、非コンパクトで不変な閉部分集合 Λ に対しても有効か？

主な発見

• スイッチング信号がコンパクトかつ不変な部分シフトに制限された制約付き線形スイッチング系の連合スペクトル半径は、一般化スペクトル半径に等しい。これは、Berger-Wangの公式の一般化である。
• コンパクトかつ不変な制約集合 Λ を有する線形スイッチング系において、絶対的指数的安定性は、一般化スペクトル半径が1未満であることと同値である。
• 証明は、類似変換による行列族のブロック下三角化に依拠し、スペクトル半径が厳密に1未塔である低次元部分系に問題を還元する。
• 定理Bにおける ρ(S) = 1 の仮定は、(c) ⇒ (a) の含意に対して十分ではあるが、必要ではないことが示され、この結果はその仮定なしに成立する可能性がある。
• Λ 上の不変測度の存在により、エルゴディック理論的ツールを用いて、行列ノルムの漸近的成長率とスペクトル半径を等価に扱える。
• 本稿では、有界性の仮定が満たされない場合の反例構成を提示し、システムが積の有界性を満たさない場合、スペクトル半径の等価性が成立しないことを示している。