[論文レビュー] A general algorithm for manipulating non-linear and linear entanglement witnesses by using exact convex optimization

M. A. Jafarizadeh, K. Aghayar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2009

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意のN粒子量子系における線形および非線形もつれ witnesses (EWs) を構築する一般化された凸最適化フレームワークを提示する。可分状態を可能性領域 (FR) に写像することで、多角形のFRに対して線形EWsを導出し、曲がったFRに対しては線形EWsの包絡線として非線形EWsを定義する。これにより、W状態やGHZ-W状態といった複雑な状態におけるもつれの系統的検出が可能になる。

ABSTRACT

A generic algorithm is developed to reduce the problem of obtaining linear and nonlinear entanglement witnesses of a given quantum system, to convex optimization problem. This approach is completely general and can be applied for the entanglement detection of any N-partite quantum system. For this purpose, a map from convex space of separable density matrices to a convex region called feasible region is defined, where by using exact convex optimization method, the linear entanglement witnesses can be obtained from polygonal shape feasible regions, while for curved shape feasible regions, envelope of the family of linear entanglement witnesses can be considered as nonlinear entanglement witnesses. This method proposes a new methodological framework within which most of previous EWs can be studied. To conclude and in order to demonstrate the capability of the proposed approach, besides providing some nonlinear witnesses for entanglement detection of density matrices in unextendible product bases, W-states, and GHZ with W-states, some further examples of three qubits systems and their classification and entanglement detection are included. Also it is explained how one can manipulate most of the non-decomposable linear and nonlinear three qubits entanglement witnesses appearing in some of the papers published by us and other authors, by the method proposed in this paper. Keywords: non-linear and linear entanglement witnesses, convex optimization. PACS number(s): 03.67.Mn, 03.65.Ud

研究の動機と目的

• 任意のN粒子量子系に適用可能なもつれ witnesses (EWs) を生成する汎用アルゴリズムの開発を目的とする。
• 従来の線形EWsが失敗する可能性がある、非分解可能または高もつれ状態におけるもつれ検出の課題に対処することを目的とする。
• もつれ検出を凸最適化問題として定式化することで、既存のEW構成を統一的かつ一般化することを目的とする。
• W状態、GHZ-W状態、および3量子ビット系に対する非線形EWsの明示的構成を通じて、本手法の能力を実証することを目的とする。
• 凸最適化の原則を用いて非分解可能な線形および非線形EWsを体系的に操作・分類する方法を提供することを目的とする。

提案手法

• 可分状態の密度行列の集合をトレース写像 $ \mathrm{Tr}(W\rho_{\text{sep}}) $ で写像することで可能性領域 (FR) を定義し、可分状態の凸構造に起因してFRが凸であることを保証する。
• 多角形のFRに対しては、正確な凸最適化を適用して線形もつれ witnesses に対応する頂点を特定する。
• 曲がったFRに対しては、凸最適化によって得られた線形EWsの族の包絡線を計算し、非線形もつれ witnesses を定義する。
• ラグランジュ双対性およびカーシュ＝クーン＝タッカー (KKT) 条件を用いて凸最適化問題を解き、強い双対性のもとでグローバル最適解とゼロの双対ギャップが保証されることを確認する。
• 解析的解が困難な場合に、内点法を用いて数値的解を得る。凸最適化アルゴリズムの効率性を活用する。
• 特定の目的状態（例えば、拡張不能な積状態やW状態）向けに、追加の制約を含めた凸最適化を再適用し、EWsを精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のN粒子量子系に対して、線形および非線形もつれ witnesses を生成する一般アルゴリズムをどのように設計できるか？
• RQ2 可能性領域 (FR) がもつれ検出問題を凸最適化フレームワークに変換する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ3 非線形もつれ witnesses を、線形EWsの族から包絡線構成によって体系的に導出できるか？
• RQ4 この手法は、3量子ビット系における非分解可能なもつれ（例：W状態やGHZ-W状態）を検出できるか？
• RQ5 文献に既存の線形および非線形EWsは、この統一された凸最適化アプローチを用いて再導出可能で、操作可能であるか、その範囲はどの程度か？

主な発見

• 本手法は、曲がった可能性領域からの線形EWsの包絡線を導出することで、拡張不能な積状態、W状態、GHZ-W状態における非線形もつれ witnesses の構築に成功した。
• 3量子ビット系において、本フレームワークは多様な状態におけるもつれの分類および検出を可能にした。非分解可能なEWsを有する状態も含む。
• 与えられた系における可能性領域は、可分状態の密度行列の凸集合が線形トレース写像によって写像されることにより、構成上凸である。
• 本手法は、凸最適化定式化において強い双対性が成り立つことを証明し、KKT条件がグローバル最適解とゼロの双対ギャップを保証することを示した。
• 本手法は、先行研究におけるEW構成を一般化・統合し、非分解可能な線形および非線形EWsを体系的に操作可能にする。
• 解析的解が困難な場合でも、内点法による数値的解法が有効であることが示され、複雑な量子系への広範な適用可能性が保証された。