[論文レビュー] A general construction of partial Grothendieck transformations

Joerg Schuermann|ArXiv.org|Sep 23, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、特異空間、特徴的類、および等配理論などの文脈における部分的グローテンディーク変換を扱う一般枠組みを導入する。双対理論における外積と可換する共変理論の自然変換が、終域が滑らかまたはホモロジー多様体である場合に、一意に部分的グローテンディーク変換へ拡張可能であることを示している。主な貢献は、特徴的類、コホモロジー作用素、および等配理論の既知のリーマン・ロッホ定理を一般化する統一的定理の確立である。

ABSTRACT

Fulton and MacPherson introduced the notion of bivariant theories and Grothendieck transformations related to Riemann-Roch-theorems. But there are many situations, where such a bivariant theory or a corresponding Grothendieck transformation is only partially known: characteristic classes of singular spaces (e.g. Stiefel-Whitney or Chern classes), cohomology operations (e.g. singular Adams Riemann-Roch and Steenrod operations for Chow groups) or equivariant theories (e.g. Lefschetz Riemann-Roch). We introduce in this paper a simpler notion of partial (weak) bivariant theories and partial Grothendieck transformations, which applies to all these examples. Our main theorem shows, that a natural transformation of covariant theories, which commutes with exterior products, automatically extends (uniquely) to such a partial Grothendieck transformation of suitable partial (weak) bivariant theories ! In the above geometric situations one has for example to consider only morphisms, whose target is a smooth manifold, or more generally, a suitable homology manifold.

研究の動機と目的

• 特異空間、特徴的類、等配理論などの幾何的文脈において、多くの双対理論やグローテンディーク変換が部分的にしか定義されていないという制限に対処すること。
• これらの不完全な状況に適用可能な、部分的（弱い）双対理論および部分的グローテンディーク変換の概念を形式化すること。
• 一般的拡張定理の確立：外積と可換する共変理論の自然変換は、終域が滑らかまたはホモロジー多様体である場合に、一意に部分的グローテンディーク変換へ拡張可能であること。
• チャーン類、ステイファル・ブリッジ類、アダムズ作用素などの多様な幾何的およびコホモロジー的文脈における既知のリーマン・ロッホ定理を統一的かつ一般化すること。
• 等配K理論、チョウ群、ボレル＝ムーアホモロジーなどの文脈における部分的双対理論の構築のための基盤的枠組みを提供し、リーマン・ロッホ公式への応用を示すこと。

提案手法

• 双対理論の部分的（弱い）理論の概念を導入し、双対的射の定義域を終域が滑らかまたはホモロジー多様体である場合に制限する。
• このような部分的双対理論間の自然変換として部分的グローテンディーク変換を定義する。
• 主定理を確立する：共変理論間の自然変換が外積と可換するならば、それが滑らかまたはホモロジー多様体を終域とする射に制限された場合に、一意に部分的グローテンディーク変換へ拡張可能である。
• フルトンとマクファーソンの双対的形式的理論を用い、積、押し下げ、引き戻しの操作を含み、(A1–A123)の整合性条件を満たす。
• 具体的な例に拡張定理を適用する：チャーン類、ステイファル・ブリッジ類、アダムズ作用素、およびレフシェッツ・リーマン・ロッホの各例について、基底変換写像gが滑らかであるという条件を用いる。
• 滑らかな射f:X→Yに対して、標準的類e_f = 1_Xが拡張定理の条件(10)および(11)を満たすことを確認する。これはヴェルディエ・リーマン・ロッホの公式に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終域が滑らかまたはホモロジー多様体に制限された場合に、外積と可換する共変理論の自然変換は、一意に部分的グローテンディーク変換へ拡張可能か？
• RQ2 特異空間の特徴的類のような状況で完全な双対理論が得られない場合、双対的形式的理論はどのように適合可能か？
• RQ3 与えられた類（例：オイラー類、定数層）が、必要な整合性公理を満たす部分的双対的類へ上昇するための条件は何か？
• RQ4 等配K理論、チョウ群、ボレル＝ムーアホモロジーなどの幾何的文脈において、主な拡張定理はどのように適用可能か？また、既知のリーマン・ロッホ定理はどのように回復されるか？
• RQ5 滑らかな射に対するヴェルディエ・リーマン・ロッホの公式は、部分的双対的状況における自然変換の拡張に必要な条件とどのように関係するか？

主な発見

• 外積と可換する共変理論の自然変換γ_*は、終域が滑らかまたはホモロジー多様体である射に制限された場合に、一意に部分的グローテンディーク変換へ拡張可能である。
• 滑らかな射f:X→Yに対して、e_f = 1_Xは拡張定理の条件(10)および(11)を満たし、部分的双対的類へ上昇可能である。
• 拡張は双対的積および引き戻しと整合的であり、得られる変換は双対的射影公式を満たす。
• 標準的類e_fはγ_*の下でc^*(T_f) ⌢ [f]にマッピングされ、ここでc^*は特徴的類（チャーンまたはステイファル・ブリッジ）であり、[f]は相対的向き類である。
• ヴェルディエ・リーマン・ロッホの公式は滑らかな射に対して成立し、条件(10)が満たされることを確認し、既知の幾何的状況における拡張の一貫性が裏付けられる。
• この枠組みは、部分的双対的チャーン類、アダムズ作用素、レフシェッツ・リーマン・ロッホの既知のリーマン・ロッホ定理を、単一の抽象的構成に統合・一般化する。