[論文レビュー] A generalized Verdier-type Riemann-Roch theorem for Chern-Schwartz-MacPherson classes

Joerg Schuermann|ArXiv.org|Feb 18, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、正則埋め込みおよび局所完備交差準同型の文脈において、可解関数の性質とヴェルディエの専ら関手を用いて、チャーン＝シュワルツ＝マクフィーソンクラスに対する一般化されたバーディエ型リーマン・ローチ公式を確立する。主な貢献は、滑らかな多様体内の局所完備交差のミルナー類に対する普遍的公式であり、既存の結果を一般化し、余次元1において著しく簡略化される。

ABSTRACT

We give a general formula for the defect appearing in the Verdier-type Riemann-Roch formula for Chern-Schwartz-MacPherson classes in the case of a regular embedding. Our proof of this formula uses the constructible function version of Verdier's specialization functor, together with a specialization property of Chern-Schwartz-MacPherson classes and the corresponding Riemann-Roch theorem for smooth morphisms. As a very special case we get a formula for the Milnor-class of a local complete intersection in a smooth manifold, which in the case of a hypersurface gives back a result of Parusinski-Pragacz.

研究の動機と目的

• 正則埋め込みおよび局所完備交差準同型の場合におけるチャーン＝シュワルツ＝マクフィーソンクラスのヴェルディエ型リーマン・ローチ定理における欠損項の一般式を導出すること。
• 滑らかな多様体内の超曲面および局所完備交差のミルナー類に関する既存の結果を統一的かつ一般化すること。
• 新しい公式を用いて、滑らかな引き戻しと固有の押し出し写像におけるミルナー類の関手的性質を確立すること。
• 可解関数に基づく専ら関手とチャーン＝シュワルツ＝マクフィーソンクラスとの相互作用を扱うアプローチを提供すること。

提案手法

• シーヴ複体におけるヴェルディエの専ら関手 $Sp_{X\setminus Y}$ の可解関数版を用いる。
• チャーン＝シュワルツ＝マクフィーソンクラスの専ら性質を適用し、多様体上のクラスとその正規被包上のクラスを関連付ける。
• 導出の基盤として、滑らかな準同型のためのリーマン・ローチ定理を用いる。
• 正則埋め込みにおける正規被包への変形を用いたギジン写像を用いて、ホモロジーにおける引き戻しを定義する。
• 自己交差公式および正規バンドルの計算を用いて、埋め込まれた部分多様体上のチャーン類を関連付ける。
• 引き戻しとチャーン類作用を含む可換図式を確立し、一般化された公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則埋め込みに制限された場合に、チャーン＝シュワルツ＝マクフィーソンクラスのヴェルディエ型リーマン・ローチ公式における正確な欠損項は何か？
• RQ2 滑らかな多様体内の局所完備交差のミルナー類は、正規バンドルおよびチャーン類を用いて普遍的にどのように表現できるか？
• RQ3 代数的または複素解析的設定下で、滑らかな引き戻しおよび固有の押し出し写像におけるミルナー類の挙動はいかなるものか？
• RQ4 可解関数枠組みにおける専ら関手とチャーン＝シュワルツ＝マクフィーソンクラスとの相互作用はどのように理解できるか？
• RQ5 ミルナー類の公式は、特に余次元1において、超曲面を超えて簡略化され一般化可能か？

主な発見

• 滑らかな多様体内の局所完備交差のミルナー類に対する一般式が導出され、既存の結果を拡張・統合する。
• 余次元1の正則埋め込みの場合、この公式は超曲面のパルシニスキ＝プラガーツの公式の大幅な一般化に簡略化される。
• 滑らかな引き戻しに沿うカルテジアン図式において、ミルナー類 $M_0(X)$ は変換則 $M_0(X') = c^*(T_f) \cap f^*M_0(X)$ を満たす。
• 一定のオイラー特性を持つファイバーを伴う固有の押し出しにおいて、ミルナー類は $f_*M_0(X') = \chi \cdot M_0(X)$ と変換され、既知の結果を一般化する。
• ミルナー類の公式が自己交差公式およびチャーン類による正規バンドル作用と整合することを示した。
• 導出された公式は関手的であり、代数的および複素解析的文脈において一様に適用可能であり、特異点の解消および基底変換の性質に依存する。