[論文レビュー] A General Framework for the Semantics of Type Theory

Taichi Uemura|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2019

Logic, programming, and type systems参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、代表可能なカテゴリーズ・ウィズ・ファミリー（cwfs）を用いた一般化された圏的枠組みを提案し、マルティン・ローフ型理論、二段階型理論、および立方体型理論を統一的に扱う型理論の意味論を構築する。型理論上の理論の圏と民主的モデルの全部分2-圏の間で双同値を確立し、左双随伴な句法学的モデル関手を通じて、構文と意味論の均一な対応を実現する。

ABSTRACT

We propose an abstract notion of a type theory to unify the semantics of various type theories including Martin-Löf type theory, two-level type theory and cubical type theory. We establish basic results in the semantics of type theory: every type theory has a bi-initial model; every model of a type theory has its internal language; the category of theories over a type theory is bi-equivalent to a full sub-2-category of the 2-category of models of the type theory.

研究の動機と目的

• マルティン・ローフ型理論、二段階型理論、立方体型理論といった多様な型理論の意味論を、一つの圏的枠組みで統一すること。
• 構文とモデルの均一な取り扱いを可能にするために、代表可能な矢印を持つ圏として一般化された型理論の概念を定義すること。
• 構文とモデルの間の対応を、完全に圏論的に確立し、ラムベック–スコットやジージーの古典的結果を一般化すること。
• 句法学的モデル関手の像としての「民主的モデル」の概念を導入し、どのモデルが句法学的構成から生じるかを特徴づけること。
• ∞-型理論を含む高次元一般化の基盤を築き、型理論のモデル2-圏からその再構成を検討すること。

提案手法

• 型理論を、特定の代表可能な矢印のクラスを備えた圏 T として定義し、cwfs をモデルとして一般化する。
• 型理論のモデルを、T → PSh(C) を満たす関手 F として定義し、代表可能性を保存する。代表可能な矢印は、プレシーブェの代表可能な写像にマッピングされる。
• T-理論を、T から Set への関手として定義し、各対象にその推論形式の閉じた導出の集合を割り当てる。
• 各モデルに対してその内部言語を割り当てる2-関手 LT: ModT → ThT を構成し、それが左双随伴な句法学的モデル関手 MT を持つことを証明する。
• MT の像を、代表可能な矢印に関して普遍性を満たすモデル（民主的と呼ぶ）の全部分2-圏として特徴づける。
• 2-圏 Rep を用いて、解釈を通じて異なる型理論を比較し、2-関手 Mod(−) を用いて ModT から Cat1 上の2-圏への写像を通じて T の再構成を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルティン・ローフ型理論、二段階型理論、立方体型理論を、一つの圏的枠組みで統一する一般化された型理論の概念を定義可能か？
• RQ2 このような一般化された型理論において、句法学的結果（例：ラムベック–スコット、ジージーの同値性）を拡張した、理論とモデルの均一な対応が存在するか？
• RQ3 ある理論の句法学的モデルとして生じるモデルは、どのように特徴づけられ、そのクラスは公理化可能か？
• RQ4 句法学的モデルの構成が、内部言語関手の左双随伴であることを示し、これによりモデル2-圏の構造にどのような意味が生じるか？
• RQ5 元の型理論は、そのモデル2-圏から再構成可能か？ その再構成が保証される条件は何か？

主な発見

• すべての型理論 T は、双初期モデル（bi-initial model）を持つ。これは、同値の意味で初期である普遍的な句法学的モデル構成を意味する。
• 内部言語関手 LT: ModT → ThT（局所的離散2-圏とみなす）は左双随伴な MT を持ち、各 T-理論に対してその句法学的モデルを割り当てる。
• 句法学的モデル関手 MT は局所的に同値であり、T-理論の圏と MT の双随伴の本質的像の間で双同値を誘導する。
• MT の双随伴の本質的像は、正確に T の民主的モデルのクラスに一致する。民主的モデルとは、代表可能な矢印に関して普遍性を満たすモデルである。
• モデルの2-圏 ModT は、双圏的意味で局所的プレゼンタブルである。これは、T が有限に双プレゼンタブルな対象を用いて ModT から再構成可能であることを示唆する。
• この枠組みは ∞-型理論へ自然に一般化可能であり、型理論の圏的モデルが ∞-型理論のモデルとして見なせる。これにより、高次元と通常の意味論が統一される。