[論文レビュー] A General Scheme of Entanglement

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Jan 10, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間の標準的テンソル積形式的記法を越えて、量子力学におけるもつれの一般化された数学的枠組みを提案する。任意の集合に生成子と基底を導入することで、演算に関して閉じた構造を持つ任意の設定においてもつれに類似した現象が生じることを示し、もつれの本質が量子に特有の形式的記法ではなく構造的閉包にあることを明らかにする。これにより、古典的および量子的結合性が統一される。

ABSTRACT

Entanglement is a well known fundamental resource in quantum information. Here the following question is addressed : which are the deeper roots of entanglement that may help in its better understanding and use ? The answer is that one can reproduce the phenomenon of entanglement in a far more general and simple way, a way that goes much beyond the usual one which is limited to the framework of tensor products of vector spaces. In this general approach to entanglement presented here - and much unlike in the particular setup of tensor products of vector spaces - the spaces involved can be rather arbitrary sets, just as in the case of Cartesian products. In particular, they need not even have any algebraic structure. Thus they do not have to be vector spaces, groups or even semigroups.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間の標準的テンソル積形式的記法に依存しない枠組みにおいてもつれを理解し、モデル化できるかを調査すること。
• 量子力学やベクトル空間構造を超えたもつれの根本的な数学的根拠を特定すること。
• もつれが本質的に量子的ではなく、任意の集合における閉包性質に起因することを示すこと。
• カルテシアン積とテンソル積の違いを一般化することで、古典的および量子的システムの結合性を統一すること。
• より広範な代数的レンズを通してもつれを再解釈することで、将来の物理理論の可能性を築く基盤を提供すること。

提案手法

• 集合 X の冪集合 P(X) 上に定義された生成関数 ψ: P(X) → P(X) を導入し、単調性およびインフレーション性（A ⊆ ψ(A) および A ⊆ A' ⇒ ψ(A) ⊆ ψ(A')）を満たす。
• 二項演算 α: X × X → X に対する α-安定部分集合を定義し、A を含む最小の α-安定集合 [A]_α を、すべての α-安定上位集合の共通部分として構成する。
• 生成関数 ψ_α(A) = [A]_α を用いて、任意の集合へもつれの概念を一般化する閉包作用を定義する。
• 生成関数の「基底」の概念を導入し、集合 B が基底であるとは、ψ(B) = X かつ B の真部分集合が X を生成しないことである。
• 集合上の二項演算の例にこの枠組みを適用し、生成関数がイデムポテン（ψ(ψ(A)) = ψ(A)）である条件を確立する。
• 量子力学におけるテンソル積の普遍的性質が、この一般化された閉包に基づくもつれの特別な場合であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル空間のテンソル積に依存しない数学的枠組みにおいてもつれを定義できるか？
• RQ2 もつれに類似した現象が生じるための最小構造的条件は何か？
• RQ3 もつれの概念は、閉包作用を持つ任意の集合へどのように一般化できるか？
• RQ4 量子系における状態空間次元の指数的増加は、量子の公理ではなく閉包性質に起因する程度はどの程度か？
• RQ5 テンソル積の普遍的性質は、より一般化された閉包に基づく構成の特別な場合として導けるか？

主な発見

• もつれは本質的に量子的ではなく、二項演算に関して閉じた構造を持つ任意の設定でモデル化可能である。
• ベクトル空間に双線形演算を適用した場合、量子力学における標準的テンソル積構成は、提案された一般的スキームの特別な場合である。
• 一般スキームにおける状態空間の次元は、要素数に応じて組み合わせ的に増加し、量子系における指数的増加と類似する。
• テンソル積の普遍的性質は、一般閉包枠組みの特定の例として回復され、その基礎的役割が示された。
• この枠組みにより、「全体は部分の総和より大きい」という性質が閉包系の構造的特徴であることが明らかになり、量子力学に特有ではないことが示された。
• 本稿は、もつれが量子重ね合わせそのものではなく、演算に関して集合が閉じることに起因することを確立し、もつれの数学的根拠を一般化した。