[論文レビュー] Further de-Entangling Entanglement

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Jan 22, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間やベクトル空間のテンソル積に依存しない、任意の集合と閉包作用素に基づく枠組みを導入することで、テンソル積を超えた量子もつれの数学的モデルを一般化する。もつれは代数的構造に依存せず、生成子と安定部分集合を用いて再定義可能であり、システム合成と部分システム同定の両方の応用が可能となる。これにより、量子力学および一般系理論におけるもつれのより広範な基盤が提供される。

ABSTRACT

A recent general model of entanglement, [5], that goes much beyond the usual one based on tensor products of vector spaces is further developed here. It is shown that the usual Cartesian product can be seen as two extreme particular instances of non-entanglement. Also the recent approach to entanglement in [8] is incorporated in the general model in [5]. The idea pursued is that entanglement is by now far too important a phenomenon in Quantum Mechanics, in order to be left confined to its present exclusive modelling by tensor products. Once this is realized, it turns out that one can quite easily de-entangle entanglement from tensor products, and in fact, one can do so in a large variety of ways. Within such general settings the issue of entanglement becomes connected with the issue of "System versus Subsystem" in General Systems Theory, where synthesizing subsystems into a system may often be less difficult than identifying subsystems in a system.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間やベクトル空間のテンソル積に限定されない、もつれの数学的モデルの拡張。
• もつれを代数的構造を必要とせず、任意の集合と閉包作用素を用いて定式化できることの示唆。
• システム合成と部分システム同定の両方の既存手法を統合・一般化すること。
• 本フレームワーク内において、デカルト積が非もつれの極限的ケースとして見なせることの示唆。
• 「システム対部分システム」という系理論の根本的問題、特にその難易度の非対称性ともつれの概念を結びつけること。

提案手法

• α,β-安定部分集合を用いて定義される生成子作用素 ψ: P(X) → P(X) を導入し、ψ(A) = [A]_{α,β} は A を含む最小の α,β-安定集合である。
• ψ-基底を、X の部分集合 B ⊆ X で ψ(B) = X を満たす最小の集合として定義し、最小の構成要素から全体を再構成可能とする。
• 被覆関係を提案：X×Y 上の生成子 χ が、X 上の生成子 ψ と Y 上の生成子 φ に被覆されるとは、すべての A⊆X, B⊆Y に対して χ(A×B) ⊆ ψ(A)×φ(B) が成り立つこと。
• 生成子 ψ と φ を用いて一般化されたテンソル積 X ⊗_{ψ,φ} Y を定義し、任意の集合上でのもつれの定義を可能にする。
• もつれを、X ⊗_{ψ,φ} Y の要素 w ⊆ X ⊗_{ψ,φ} Y で、x∈X, y∈Y に対して w = x ⊗_{ψ,φ} y と書けないものとして定義する。
• 標準的なテンソル積もつれが、生成子がベクトル空間の基底に対応する特別な場合として回復されることを示し、代数的でない設定へも拡張可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル空間のテンソル積に依存せずに、もつれを意味的に定義できるか？
• RQ2 任意の集合においてもつれを同定する一般的な数学的条件は何か？
• RQ3 提案された枠組みが、システムと部分システムの合成と同定の両側面をどのように統合・一般化するか？
• RQ4 この一般化モデルにおいて、デカルト積が非もつれの極限的ケースとしてどのように解釈できるか？
• RQ5 [9] で示された部分システム同定における観測者の導入は、この包括的枠組みにどのように統合されるか？

主な発見

• 閉包作用素と生成子を用いた任意の集合上でのもつれの定義が、テンソル積に依存せず可能である。
• デカルト積は、一般化された枠組み内での非もつれの極限的ケースとして二通りの極端な状況として現れる。
• 生成子がベクトル空間の基底に対応する場合、標準的なテンソル積もつれが特別なケースとして回復される。
• ψ-基底はベクトル空間の基底の概念を一般化したものであり、与えられた閉包条件のもとでそのような基底が存在することが示される。
• 被覆条件 χ(A×B) ⊆ ψ(A)×φ(B) は、部分システムとその合成の間の整合性を保証し、テンソル積構造を一般化する。
• この枠組みにより、もつれの二重的扱いが可能となる：システム合成（[6] におけるように）と部分システム同定（[9] におけるように）であり、後者はより複雑であるが、観測者による情報に基づく同定によって到達可能となる。