[論文レビュー] A generalization of some random variables involving in certain compressive sensing problems

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、圧縮センシングで用いられる離散的複素正規変数を一般化し、N要素のマルチセットからm個の要素をサンプリングする際の期待値および分散の正確な式を導出する。主な貢献は、これらのモーメントを行列の性質—フロベニウスノルム、コherェンス、特異値、Welchの上限—と結びつけることであり、圧縮センシングにおける測定行列の分析に理論的ツールを提供する。

ABSTRACT

In this paper we give a generalization of the discrete complex-valued random variable defined and investigated in \cite{ssa} and \cite{m8}. We prove the statements concerning the expressions for the excepted value and the variance of this random variable. In partucular, such a random variable here is defined for each of $m$ rows of any $m imes N$ complex or real matrix ${ m{\bf A}}$ with $1\le m\le N$. We consider the arithmetic mean $\bar{X}(m)$ of these $m$ random variables and we deduce the expressions for the expected value $\Bbb E[\bar{X}(m)]$ and the variance ${ m{ Var}}[\bar{X}(m)]$ of $\bar{X}(m)$. Using the expression for ${ m{ Var}}[\bar{X}(m)]$, we establish some equalities and inequalities involving ${ m{Var}}[\bar{X}(m)]$, the Frobenius norm, the largest eigenvalue, the largest singular value and the coherence of a matrix ${ m{\bf A}}$. It is showed that some of these estimates are closely related to the Welch bound of the coherence of a $m imes N$ complex or real matrix ${ m{\bf A}}$ with $1\le m\le N$. Taking into account that the value of coherence of the measurement matrix in the theory of compressive sensing has a significant role, we believe that our results should be useful for some topics of this theory.

研究の動機と目的

• m×N行列のm行部分行列に対して任意のm行部分行列を想定した、圧縮センシングで用いられる離散的複素正規変数の一般化。
• 複素数のマルチセットからm個の要素を一様かつ無作為に復元なしに選択した際の合計の期待値および分散の正確な解析的表現の導出。
• 標本平均の分散を基本的な行列ノルムおよびコヒーレンスと関連づけ、特にWelchの上限と接続する。
• 圧縮センシングにおける測定行列の性能評価のための理論的ツールを、確率的モーメントを用いて提供すること。

提案手法

• マルチセットΦ_Nに属するN個の複素数から、一様かつ復元なしにm個の要素を無作為に選択したものの合計として定義される離散的複素正規変数X(m,Φ_N)を定義する。
• 対称性とハイパージオメトリック数え上げを用いて、組み合わせ的数え上げにより期待値E[X(m,Φ_N)] = (m/N)∑z_iを導出する。
• 二番目のモーメントE[|X(m,Φ_N)|²]を、すべてのm-部分集合において|z_i|²およびz_i z̄_j 項の出現回数を数えることで計算し、二項係数の恒等式を適用する。
• Var[X] = E[|X|²] − |E[X]|² の恒等式を用いて分散Var[X(m,Φ_N)]を導出し、∑|z_i|²および|∑z_i|²を用いた閉形式の式を得る。
• 正規化された標本平均X̄(m,Φ_N) = X(m,Φ_N)/mを導入し、その期待値および分散を導出し、平均の安定性を分析する。
• 分散式を行列ノルム—フロベニウスノルム、最大特異値、固有値、コヒーレンス—と関連づけ、特にWelchの上限と接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数のマルチセットからm個の要素を無作為に選択した際の合計の期待値および分散を、閉形式でどのように表現できるか？
• RQ2 圧縮センシングにおける測定行列のコヒーレンスと、標本平均の分散との関係は何か？
• RQ3 導出された分散の式は、行列のコヒーレンスに関する既知の境界、特にWelchの上限とどのように関連するか？
• RQ4 標本平均の分散は、フロベニウスノルムやスペクトル的性質といった基本的な行列ノルムで表現可能か？
• RQ5 マルチセットの構造および復元なしのサンプリングが、圧縮センシングの文脈における合計の分布的性質にどのように寄与するか？

主な発見

• 合計X(m,Φ_N)の期待値は、正確にE[X(m,Φ_N)] = (m/N)∑_{i=1}^N z_i であり、サンプルサイズmに線形に比例することが示された。
• X(m,Φ_N)の分散は、Var[X(m,Φ_N)] = [m(N−m)/(N²(N−1))]·(N∑|z_i|² − |∑z_i|²) で与えられ、要素の散らばり具合に依存する。
• 分散は、Var[X(m,Φ_N)] = [m(N−m)/(N²(N−1))]·∑_{1≤i<k≤N} |z_i − z_k|² とも表現でき、対象間の差分と関連づけられる。
• 正規化された標本平均X̄(m,Φ_N)の分散は、Var[X̄(m,Φ_N)] = [(N−m)/(mN²(N−1))]·(N∑|z_i|² − |∑z_i|²) で与えられ、mが大きくなるほど分散が減少することが示された。
• 導出された分散式は、行列Aのコヒーレンスと直接関連しており、等号成立条件はWelchの上限に関連する。
• 結果として、標本平均の分散が行列Aのフロベニウスノルム、最大特異値、コヒーレンスと関連する不等式および等式が確立され、圧縮センシングの応用における理論的境界を提供する。