[論文レビュー] On some discrete random variables arising from recent study on statistical analysis of compressive sensing

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、欠損サンプルを伴う圧縮センシングにおいて生じる複素数値の離散確率変数 $X_l(m,N)$ を、組合せ論的手法を用いて分析し、$l \neq 0$ の場合に $X_l(m,N)$ の期待値がゼロであることを証明するとともに、その分散を導出する。さらに、実部 $U_l(m,N)$ および虚部 $V_l(m,N)$ のすべての $k$ 階モーメントが、$k$ が $N/\gcd(N,l)$ で割り切れない場合に消えることを示し、スパarsityと不完全データ下での信号復元に向けた基礎的確率的性質を提供する。

ABSTRACT

The recent paper [27] provides a statistical analysis for efficient detection of signal components when missing data samples are present. Here we focus our attention to some complex-valued discrete random variables $X_l(m,N)$ ($0\le l\le N-1$, $1\le M\le N$), which are closely related to the random variables investigated by LJ. Stanković, S. Stanković and M. Amin in \cite{ssa}. In particular, by using a combinatorial approach, we prove that for $l ot=0$ the expected value of $X_l(m,N)$ is equal to zero, and we deduce the expression for the variance of the random variables $X_l(m,N)$. The same results are also deduced for the real part $U_l(m,N)$ and the imaginary part $V_l(m,N)$ of $X_l(m,N)$, as well as the facts that the $k$th moments of $U_l(m,N)$ and $V_l(m,N)$ are equal to zero for every positive integer $k$ which is not divisible by $N/\gcd(N,l)$. Moreover, some additional assertions and examples concerning the random variables $X_l(m,N)$, $U_l(m,N)$ and $V_l(m,N)$ are also presented.

研究の動機と目的

• 信号サンプルが欠損する圧縮センシングにおいて生じる複素数値の離散確率変数 $X_l(m,N)$ の統計的性質を分析すること。
• $l \neq 0$ の場合に $X_l(m,N)$ の期待値と分散を特定し、単位根の対称的分布に起因して平均がゼロであることを示すこと。
• 実部 $U_l(m,N)$ および虚部 $V_l(m,N)$ の高次モーメントを調査し、特定の可除性条件を満たす場合にそれらが消えることを証明すること。
• 対称多項式恒等式およびニュートンの恒等式を用いて、$U_l(m,N)$ および $V_l(m,N)$ の $k$ 階モーメントが $k$ が $N/\gcd(N,l)$ で割り切れない場合にゼロであることを確立すること。
• アイゼンシュタインの基準およびべき和の恒等式に基づく組合せ論的・代数的証明を用い、スパースシステムにおける確率的信号復元の厳密な基盤を提供すること。

提案手法

• 複素数値確率変数 $X_l(m,N)$ の期待値と分散を計算するために、組合せ論的手法を用いる。ここで $X_l(m,N)$ は、$m$ 個のランダムに選択された $N$ 乗根の和として定義される。
• 対称多項式の基本定理を適用し、$k$ 階モーメント $\mathbb{E}[(X_l(m,N))^k]$ を根 $w^k = e^{-j2\pi k l /N}$ の初等対称多項式の多項式として表現する。
• ニュートンの恒等式を用いて、べき和 $p_n(w, \dots, w^N) = \sum_{k=1}^N w^{kn}$ を初等対称多項式に結びつけ、モーメントの再帰的計算を可能にする。
• 根の単位根の対称性に起因し、$l \neq 0$ のとき $\sum_{k=1}^N w^k = 0$ であり、$n$ が $N/\gcd(N,l)$ で割り切れない限り $p_n(w, \dots, w^N) = 0$ であることに着目し、モーメントの挙動を制約する。
• 数学的帰納法を用いて、初等対称多項式 $\sigma_n(w, \dots, w^N)$ が実数であることを証明し、$\mathbb{E}[(X_l(m,N))^k]$ が実数値であることを保証する。
• アイゼンシュタインの既約性基準および円分多項式の性質を、根の単位根の対称性を通じて暗黙的に用いて、モーメント解析を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $l \neq 0$ の場合に、$m$ 個のランダムに選択された $N$ 乗根の和として定義される複素数値確率変数 $X_l(m,N)$ の期待値は何か？
• RQ2 $X_l(m,N)$ の分散は何か？ そして $m$、$N$、$l$ にどのように依存するか？
• RQ3 実部 $U_l(m,N)$ および虚部 $V_l(m,N)$ の $k$ 階モーメントが消えるのはどのような $k$ の値か？
• RQ4 対称多項式恒等式および単位根のべき和は、$X_l(m,N)$ の高次モーメントをどのように制約するか？
• RQ5 $X_l(m,N)$ の $k$ 階モーメントは、根 $w^k$ の初等対称多項式の実数係数多項式として表現可能か？

主な発見

• $l \neq 0$ の場合、$X_l(m,N)$ の期待値は、$N$ 乗根の対称的分布および $m$ 個の要素の均等なサンプリングに起因し、正確にゼロである。
• 分散は $\mathrm{Var}(X_l(m,N)) = \frac{m(N-m)}{N}$ として導出され、これは単位円上からの非復元抽出に起因する。
• 実部 $U_l(m,N)$ および虚部 $V_l(m,N)$ のすべての $k$ 階モーメントは、$k$ が $N/\gcd(N,l)$ で割り切れない場合にゼロである。これは単位根の周期性と対称性に起因する。
• すべての $k$ に対して $\mathbb{E}[(X_l(m,N))^k]$ は実数である。これは、実数係数の多項式として、実数値の初等対称多項式に表現可能であるからである。
• すべての $n$ に対して初等対称多項式 $\sigma_n(w, \dots, w^N)$ は実数である。これは、ニュートンの恒等式と $n$ が $N/\gcd(N,l)$ で割り切れない場合にべき和がゼロになることを利用した帰納法により証明された。
• 本分析により、$X_l(m,N)$ はゼロ平均の複素確率変数として振る舞い、構造的高次モーメントを有する。これは、欠損データ下でのスパース信号復元におけるロバスト性を支持する。