[論文レビュー] A Generalized Backward Equation For One Dimensional Processes

George Lowther|ArXiv.org|Mar 23, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、マルチマルチンゲールの周辺分布、ドリフト測度、ジャンプ成分を用いた一般化された後向き方程式を導入することで、非微分可能関数および非SDE過程へのバックワード・コルモゴロフ方程式の一般化を試みる。主な貢献は、連続的かつ強いマルコフ・マルティンググレが、その有限次元周辺分布によって一意に決定されることを証明することであり、これは古典的な一意性結果を拡散過程を超えて拡張するものである。

ABSTRACT

Suppose that a real valued process X is given as a solution to a stochastic differential equation. Then, for any twice continuously differentiable function f, the backward Kolmogorov equation gives a condition for f(t,X) to be a local martingale. We generalize the backward equation in two main ways. First, it is extended to non-differentiable functions. Second, the process X is not required to satisfy an SDE. Instead, it is only required to be a quasimartingale satisfying an integrability condition, and the martingale condition for f(t,X) is then expressed in terms of the marginal distributions, drift measure and jumps of X. The proof involves the stochastic calculus of Dirichlet processes and a time-reversal argument. These results are then applied to show that a continuous and strong Markov martingale is uniquely determined by its marginal distributions.

研究の動機と目的

• 古典的な後向きコルモゴロフ方程式を2回連続微分可能でない関数へ拡張すること。
• 過程が確率微分方程式を満たす必要があるという要件を排除すること。
• X の周辺分布、ドリフト測度、ジャンプ成分のみを用いて、f(t, X_t) が局所マルティングルである条件を特定すること。
• 連続的かつ強いマルコフ・マルティングルが、その有限次元周辺分布のみに依存して一意に決定されることを確立すること。
• 一般のセミマルティングルを分析するための枠組みを、ディリクレ過程と時刻反転の議論を用いて構築すること。

提案手法

• ディリクレ過程の確率的微積分を用いて一般化された後向き方程式を導出する。
• 時刻反転の議論を適用し、f(t, X_t) のマルティングル性を、X のドリフトやジャンプ測度などの特徴と関連付ける。
• 空間 $ \tilde{\nu}^X_f $ を導入し、符号付き測度を用いて f(t, X_t) のドリフト成分を特徴付ける。
• 部分積分と z.c.q.v.（ゼロクロッシング、有界 Variation）過程を用いて、局所マルティングル成分の変動を制御する。
• 単調クラス補題とマルコフ性を用いて、有界リプシッツ関数から一般の可測関数への期待値の境界の拡張を行う。
• 可予測過程で有界変動をもつものに対する補題 7.2 を適用し、f(t, X_t) のドリフト成分の可積分性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f が微分可能でない関数である場合、後向きコルモゴロフ方程式を拡張できるか？
• RQ2 X が確率微分方程式を満たすと仮定しないで、f(t, X_t) のマルティングル性を表現できるか？
• RQ3 X が可積分性をもつ quasimartingale であるとき、f(t, X_t) が局所マルティングルであるための必要十分条件は何か？
• RQ4 連続的かつ強いマルコフ・マルティングルは、その有限次元周辺分布によって一意に決定されるか？
• RQ5 一般のセミマルティングルのドリフトおよびジャンプ成分を用いて、f(t, X_t) のマルティングル性をどのように特徴付けることができるか？

主な発見

• 一般化された後向き方程式は、f が2回連続微分可能でない場合でも、X の周辺分布、ドリフト測度、ジャンプ成分を用いて、f(t, X_t) が局所マルティングルである条件を特徴付ける。
• 連続的かつ強いマルコフ・マルティングルでは、有限次元同時分布が、周辺分布のみによって一意に決定される。
• 証明は、ディリクル過程の確率的微積分と時刻反転の議論に依拠しており、f(t, X_t) のドリフトが X の特徴とどのように関連するかを明らかにする。
• f \notin \tilde{\nu}^X_f ならば、f(t, X_t) は局所マルティングルにはなり得ないことが示され、これは必要条件を提供する。
• 符号付き測度 $ \tilde{\nu}^X_f $ から導かれる境界により、ドリフト成分の変動の可積分性が保証され、これにより補題 7.2 の適用が可能になる。
• 結果として、f(t, X_t) の局所マルティングル性は、拡散係数 β と ρ の存在を仮定せず、X の分布のみを用いて検証可能であることが確認された。