[論文レビュー] A generalized c-theorem and the consistency of scale without conformal invariance

Jean-François Fortin, Benjaḿın Grinstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、共形対称性をもたないスケール不変な量子場理論（QFT）へa-theoremを一般化したc-theoremを確立し、極限サイクルをとる繰り返しの軌道を通じて非ゼロのベータ関数と共形対称性が共存可能であることを示している。4次元摂動的QFTにおいて、ユニタリティとスケール不変性が共形対称性を示唆することを証明し、JackとOsbornのS関数が固定点で消え、極限サイクルの生成子Qと一致することにより、サイクル的CFTの整合性を確認している。

ABSTRACT

There is a widely held belief that conformal field theories (CFTs) require zero beta functions. Nevertheless, the work of Jack and Osborn implies that the beta functions are not actually the quantites that decide conformality, but until recently no such behavior had been exhibited. Our recent work has led to the discovery of CFTs with nonzero beta functions, more precisely CFTs that live on recurrent trajectories, e.g., limit cycles, of the beta-function vector field. To demonstrate this we study the S function of Jack and Osborn. We use Weyl consistency conditions to show that it vanishes at fixed points and agrees with the generator Q of limit cycles on them. Moreover, we compute S to third order in perturbation theory, and explicitly verify that it agrees with our previous determinations of Q. A byproduct of our analysis is that, in perturbation theory, unitarity and scale invariance imply conformal invariance in four-dimensional quantum field theories. Finally, we study some properties of these new, cyclic CFTs, and point out that the a-theorem still governs the asymptotic behavior of renormalization-group flows.

研究の動機と目的

• 共形対称性がゼロのベータ関数を要するという従来の信念に挑戦し、非ゼロのベータ関数を有するスケール不変CFTの明示的例を構成すること。
• JackとOsbornのS関数が極限サイクル挙動を示す理論において一貫したc関数として機能することを示すこと。
• 摂動的4次元QFTにおいて、ユニタリティとスケール不変性が共形対称性を示唆することを確立すること。
• Weyl整合性条件とS関数の摂動的計算を用いて、サイクル的CFTの整合性を検証すること。

提案手法

• JackとOsbornのフレームワークからのS関数を、スケール不変QFTにおける候補c関数として用いる。
• Weyl整合性条件を適用してベータ関数と異常を制約し、スケール不変性と整合することを保証する。
• S関数を摂動論的3次まで計算し、極限サイクルの生成子Qと比較する。
• S関数が固定点で消え、極限サイクル上ではQと一致することを検証し、サイクル的CFTの存在を確認する。
• 量子揺らぎのフローの漸近的挙動を分析し、a-theoremがサイクル的領域でも有効であることを確認する。
• 摂動論的解析を通じて、4次元QFTにおいてユニタリティとスケール不変性が共形対称性を示唆することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロのベータ関数を有する量子場理論において、共形対称性が実現可能であるか。もし可能であれば、どのような条件下で実現されるか？
• RQ2 JackとOsbornのS関数は、極限サイクル挙動を示す理論において有効なc関数として機能するか？
• RQ3 ユニタリティとスケール不変性が4次元QFTにおいて、どの程度まで共形対称性を示唆するか？
• RQ4 Weyl整合性条件は、再帰的ベータ関数軌道を有するスケール不変CFTの構造をどの程度制約するか？
• RQ5 a-theoremは、サイクル的挙動を示す量子揺らぎフローに対しても適用可能か？

主な発見

• S関数は固定点で消え、極限サイクルの生成子Qと一致し、サイクル的CFTにおけるc関数としての役割を確認した。
• S関数を摂動論的3次まで計算した結果、Qの以前の決定と一致し、極限サイクルCFTの存在を明示的証拠で裏付けた。
• 4次元摂動的QFTにおいて、ユニタリティとスケール不変性が共形対称性を示唆することを確認し、長年の未解決問題を解決した。
• a-theoremは、サイクル的軌道が存在する場合でも、量子揺らぎフローの漸近的挙動を支配する。
• Weyl整合性条件を用いた解析により、非ゼロのベータ関数を有するスケール不変CFTの整合性が確認された。
• 一般化c-theoremにより、a-theoremは、サイクル的で共形対称性をもたない固定点を含む範囲へ拡張され、適用範囲が広がった。