[論文レビュー] A Generalized Sylvester Problem and a Generalized Fermat-Torricelli Problem

Nguyen Mau Nam, Nguyen Hoang|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2012

Mathematics and Applications参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、ノルム空間における一般化されたシルベスター最小包含円問題およびフェルマー＝トリチェリ問題を、拡張された球および距離関数を含む最適化問題としてモデル化する。凸解析およびミンコフスキー汎関数を用いて、解の存在および一意性の十分条件を確立し、目的関数の厳密凸性を、目的集合および制約集合の幾何的仮定のもとで証明する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study the following problem and its further generalizations: given two finite collections of sets in a normed space, find a ball whose center lies in a given constraint set with the smallest radius that encloses all the sets in the first collection and intersects all the sets in the second one. This problem can be considered as a generalized version of the Sylvester smallest enclosing circle problem introduced in the 19th century by Sylvester which asks for the circle of smallest radius enclosing a given set of finite points in the plane. We also consider a generalized version of the Fermat-Torricelli problem: given two finite collections of sets in a normed space, find a point in a given constraint set that minimizes the sum of the farthest distances to the sets in the first collection and shortest distances (distances) to the sets in the second collection.

研究の動機と目的

• 任意の集合に対して、ノルム空間における古典的シルベスター最小包含円問題を、包含および交差制約を含む形に一般化すること。
• フェルマー＝トリチェリ問題を、ある集合への最遠距離の和と他の集合への最短距離の和を最小化する問題に拡張し、制約集合を含む形で定式化すること。
• 凸解析の道具を用いて、一般のノルム空間における最適解の存在および一意性を確立すること。
• 目的関数が厳密凸となる条件を特徴づけ、一意な最小化子を保証すること。
• 一般化された問題と、接円に関するアポロニウスの問題のような古典的幾何学的問題との関係を明らかにすること。

提案手法

• 制約集合 $S$ 上で関数 $\mathcal{G}(x) = \max\{C_F(x;\Omega_i), T_F(x;\Theta_j)\}$ を最小化することで、一般化されたシルベスター問題をモデル化する。ここで $C_F$ および $T_F$ は最大時間関数および最小時間関数である。
• 制約集合 $S$ 上で $\mathcal{H}(x) = \sum_i C_F(x;\Omega_i) + \sum_j T_F(x;\Theta_j)$ を最小化することで、一般化されたフェルマー＝トリチェリ問題をモデル化する。
• 拡張された球 $D_F(x;r) = x + rF$ における距離をミンコフスキー汎関数 $\rho_F(x)$ を用いて表現する。
• 目標集合の閉性および有界性、空間のコンパクト性または弱収縮性を用いて、解の存在を証明する。
• 制約集合 $S$ 内の異なる点 $x,y$ を結ぶ線分 $L(x,y)$ が、いずれかの $\Omega_i$ や $\Theta_j$ と交差しないこと、および $F$ と $\Theta_j$ の厳密凸性を仮定することで、$C_F(x;\Omega_i)$ および $T_F(x;\Theta_j)$ が厳密凸であることを示し、$\mathcal{H}(x)$ の厳密凸性を確立する。
• 一般化された微分および凸解析を適用し、$S$ 内の異なる点を結ぶ線分から集合が幾何的に分離されている場合の条件に基づいて、一意性の条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたシルベスター問題がノルム空間で解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 一般化されたフェルマー＝トリチェリ問題が一意な最適解をもつのはいつか？
• RQ3 ゲージ関数 $\rho_F$ および集合 $\Omega_i$, $\Theta_j$ の性質が、目的関数の凸性にどのように影響するか？
• RQ4 一般化された問題と、アポロニウスの問題のような古典的幾何学的問題との関係は何か？
• RQ5 ユークリッドノルムを用いた $\mathbb{R}^n$ における3つの球に対して、一般化されたシルベスター問題の解を明示的に構成できるか？

主な発見

• 目標集合が閉集合、有界集合、凸集合であり、制約集合 $S$ が閉集合である限り、一般化されたシルベスター問題は任意のノルム空間で解をもつ。
• $F$ およびすべての $\Theta_j$ が厳密凸であり、$S$ が凸集合であり、$S$ 内の任意の異なる点 $x,y$ に対して、線分 $L(x,y)$ が $\Omega_i$ や $\Theta_j$ と交差しないような $i$ や $j$ が存在する場合、一般化されたフェルマー＝トリチェリ問題は高々一つの解をもつ。
• 上記の幾何的および凸性の仮定のもとで、一般化されたフェルマー＝トリチェリ問題の目的関数 $\mathcal{H}(x)$ は厳密凸であり、最小化子の一意性が保証される。
• すべての目標集合が単集合であり、$F$ が厳密凸である場合、問題は $S$ 上で $\sum_i \rho_F(a_i - x)$ を最小化することに帰着され、点が一直線上にない限り高々一つの解をもつ。
• 弱収縮空間、または $S$ がコンパクトである場合には、同じ条件下で一般化されたフェルマー＝トリチェリ問題は一意な解をもつ。
• ユークリッドノルムを用いた $\mathbb{R}^n$ における3つの球に対する一般化されたシルベスター問題の解は、接円に関するアポロニウスの問題の解と関連している。