[論文レビュー] A Generalized Tur\'an Problem and its Applications

Lior Gishboliner, A. Shapira|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、すべての固定された k および ℓ に対して、ℓ-サイクルを含まない n 頂点グラフにおける k-サイクルの最大数について、タイトな漸近的境界を提供することにより、一般化された Turán 問題を解決する。さらに、これらの境界を応用して、 extremal graph theory における長年の未解決のギャップを埋める、初めて知られる超多項式的境界を有するグラフ除去補題を構成する。

ABSTRACT

The investigation of conditions guaranteeing the appearance of cycles of certain lengths is one of the most well-studied topics in graph theory. In this paper we consider a problem of this type which asks, for fixed integers ${\\ell}$ and $k$, how many copies of the $k$-cycle guarantee the appearance of an $\\ell$-cycle? Extending previous results of Bollob\\'as--Gy\\H{o}ri--Li and Alon--Shikhelman, we fully resolve this problem by giving tight (or nearly tight) bounds for all values of $\\ell$ and $k$. We also present a somewhat surprising application of the above mentioned estimates to the study of the graph removal lemma. Prior to this work, all bounds for removal lemmas were either polynomial or there was a tower-type gap between the best known upper and lower bounds. We fill this gap by showing that for every super-polynomial function $f(\\varepsilon)$, there is a family of graphs ${\\cal F}$, such that the bounds for the ${\\cal F}$ removal lemma are precisely given by $f(\\varepsilon)$. We thus obtain the first examples of removal lemmas with tight super-polynomial bounds. A special case of this result resolves a problem of Alon and the second author, while another special case partially resolves a problem of Goldreich.

研究の動機と目的

• すべての固定された k および ℓ に対して、ℓ-サイクルを含まない n 頂点グラフにおける k-サイクルの最大数を特定する一般化された Turán 問題を解決すること。
• 従来の ex(n, C_k, C_ℓ) の結果を拡張し、未解決の配置を含むすべてのケースにおいて漸近的にタイトな境界を提供すること。
• これらの極値境界をグラフ除去補題に応用し、正確に指定された超多項式的境界を持つ例を構成すること。
• すべての超多項式関数 f(ε) が、ある族 F に対する F-除去補題の境界として実現可能であることを示すことにより、長年の上界と下界のギャップを埋めること。

提案手法

• 著者たちは、組合せ的極値的議論とサイクルを含むグラフの構造的解析を用いて、ex(n, C_k, C_ℓ) のタイトな漸近的境界を確立する。
• 有界次数と制御された共通近接点構造を持つグラフにおけるパスとサイクルの数を、確率的および数え上げ的技法を用いて分析する。
• 鍵となる技術として、パスの両端点がパス上にない共通近接点を持つかどうかに基づき、パスを「良い」または「悪い」と分類し、悪いパスの数を制限することでサイクル数を導出する。
• 極値的グラフの構築には、禁止された偶数サイクルを含む二部グラフを用い、一方の部に属する頂点をエッジに置き換える変換を施して、禁止されたサイクルを生成せずに三角形を生成する。
• 証明では、二重数え上げと次数制約を用いて、特に共通近接点とパス長の役割に注目して、パスとサイクルの数を制限する。
• 除去補題への応用において、ex(n, C_k, C_ℓ) の極値境界が、サイクル構造から導かれる適切な族 F を選ぶことで、F-除去補題のタイトな境界に直接的に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k と ℓ がともに奇数、または k が偶数で ℓ が奇数であるような場合を含め、すべての固定された k および ℓ に対して、ex(n, C_k, C_ℓ) の正確な漸近的オーダーは何か？
• RQ2 グラフ除去補題の境界を、すべての超多項式的成長率に対してタイトにできるか？ もしそうならば、そのような族はどのように構成できるか？
• RQ3 サイクルを含むグラフの極値境界は、特に C_3 と偶数サイクル C_{2ℓ} の場合に、禁止されたサイクルの構造とどのように関係するか？
• RQ4 ex(n, C_k, C_ℓ) の極値関数と、複数の偶数サイクルを禁止する場合の極値関数の正確な関係は何か？
• RQ5 すべてのパrameter領域、特に C_k が C_ℓ に含まれない密度の高い場合を含め、一般化された Turán 問題が完全にタイトな境界で解決可能か？

主な発見

• k と ℓ が異なる場合、k ≥ 5 かつ ℓ = 4 のとき、ex(n, C_k, C_ℓ) は Θ_k(n^{k/2}) のタイトな境界を有する。また、ℓ ≥ 6 が偶数で k ≥ 4、または k, ℓ が奇数で 5 ≤ k < ℓ の場合、Θ_k(ℓ^{⌈k/2⌉} n^{⌊k/2⌋}) が成り立つ。
• k が偶数で ℓ が奇数、または k と ℓ がともに奇数で k > ℓ である密度の高い場合、C_ℓ が C_k のブローモップに含まれないため、ex(n, C_k, C_ℓ) = Θ_k(n^k) である。
• ex(n, C_3, C_{2ℓ}) は、Ω(ex(n, {C_4, C_6, ..., C_{2ℓ}})) と O_ℓ(ex(n, C_{2ℓ})) の間で有界であり、ℓ ∈ {2, 3, 5} の場合、両方の境界がタイトである。
• 著者たちは、任意の与えられた超多項式関数 f(ε) と正確に一致する境界を持つ F-除去補題を実現するグラフ族 F を構成する。
• この構成により、超多項式的境界がタイトな初めての知られている除去補題の例が得られ、これまでの上界と下界のギャップが埋められた。
• この結果は、Alon と Shapira が提起した問題を解決し、Goldreich が提起した非多項式的かつ正確に制御された境界を持つ除去補題の存在に関する問いに部分的に答えている。