[論文レビュー] Characteristic Classes of Hypersurfaces and Characteristic Cycles

Adam Parusiński, Piotr Pragacz|ArXiv.org|Jan 21, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 89

ひとこと要約

本稿では、サバの理論による特徴的サイクルとヴェルディエの特化性質を用いて、複素多様体内の超曲面のチャーン＝シュワーツ＝マクフィーソン類に対する新しい公式を提示する。主な結果はアリュフィの公式を一般化し、局所化されたチャーン類とブ low-up データを含む各層への和としてミルナー類を表現する。

ABSTRACT

We give a new formula for the Chern-Schwartz-MacPherson class of a hypersurface in a nonsigular compact complex analytic variety. In particular this formula generalizes our previous result on the Euler characteristic of such a hypersurface. Two different approaches are presented. The first is based on the theory of characteristic cycle and the works of Sabbah, Briancon-Maisonobe-Merle, and Le-Mebkhout. In particular, this approach leads to a simple proof of a formula of Aluffi for the above mentioned class. The second approach uses Verdier's specialization property of the Chern-Schwartz-MacPherson classes. Some related new formulas are also given.

研究の動機と目的

• オイラー特性のケースを超えて、超曲面のチャーン＝シュワーツ＝マクフィーソン類の公式を一般化すること。
• ミルナー類を計算するための、特徴的サイクルと特化を統合した枠組みを提供すること。
• ヴェルディエの特化性質を用いて、プロジェクト型の場合のヨクーラのミルナー類に関する予想を解決すること。
• 特異部分多様体のグローバルなブローアップデータを用いて、アリュフィの公式の新たな簡略化された証明を提示すること。
• ミルナー線形空間に関連する可解関数 χ および μ の CSM 類に対する新しい公式を導出すること。

提案手法

• サバの特徴的サイクル理論を用いて、ヤコビイデアルによって定義される特異部分多様体のグローバルなブローアップを用いて、超曲面の CSM 類を表現する。
• [B-M-M] および [L-M] の特徴的サイクル公式を適用し、超曲面の局所的幾何とグローバルな位相不変量との関係を明示する。
• ヴェルディエの CSM 類の特化性質を用いて、滑らかなファイバーの類と特異ファイバーの類との関係を特化写像を通じて関係づける。
• ホイットニー層化における Möbius 型の公式 α(S) = μ_S − ∑_{S′≠S, S⊂cl(S′)} α(S′) を用いて、係数 α(S) の帰納的構成を行う。
• ナッシュのブローアップと双対チャーン＝マザー類の形式的体系を用いて、CSM 類を射影的正規双対バンドルおよびタウトロジカルラインバンドルの言語で表現する。
• 包含写像 i_{S,Z} 沿りの CSM 類のプッシュフォワードと特化写像 σ_H を組み合わせ、ミルナー類の分解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超曲面 Z のチャーン＝シュワーツ＝マクフィーソン類は、その特異集合と層化に基づいてどのように表現できるか？
• RQ2 ミルナー類と超曲面の特徴的サイクルとの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 ヴェルディエの特化性質を用いて、CSM 類のアリュフィの公式の新たな証明を導出できるか？
• RQ4 ミルナー類分解における係数 α(S) は、ミルナー数と層化データとどのように関係するか？
• RQ5 ミルナー線形空間に関連する可解関数 μ の CSM 類の正確な構造は何か？

主な発見

• 超曲面 Z のミルナー類は、次の式で与えられる：M(Z) = ∑_{S∈S} α(S) ⋅ c(L|Z)^{-1} ∩ (i_{S,Z})_* c_*(S)。ここで α(S) はホイットニー層化上での帰納的定義された係数である。
• 特化アプローチにより、プロジェクト型の場合の定理 0.2 の直接的証明が得られ、ヨクーラの予想が裏付けられた。
• 特異部分多様体のグローバルなブローアップデータを用いて、超曲面の CSM 類のアリュフィの公式に対する新たな簡略化された証明が与えられた。
• ミルナー類が Z の特異集合に台を持つことが示され、特異集合が有限集合の場合、その次数はミルナー数の和に一致する。
• 特化写像 σ_H は、σ_H(c_*(Z_t)) = c_*(Z) + (-1)^{n-1} ∑_S α(S) [ (i_{S,Z})_* c_*(S) − (i_{S∩Z',Z})_* c_*(S∩Z') ] を満たし、これによりミルナー類の公式が導かれる。
• 関数 μ の CSM 類の公式は、c_*(μ) = ∑_S α(S) (i_{S,Z})_* c_*(S) として導出され、位相的不変量と層化データが結びつけられた。