[論文レビュー] A generalized Vi\'ete's-like formula for pi with rapid convergence

Sanjar M. Abrarov, Brendan M. Quine|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Advanced Mathematical Identities被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、K段のネストされたルート $ a_K = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2}}} $ を用いた、Vièteに類似した一般化された公式を提示する。この公式は、$ x = \sqrt{2 - a_{K-1}} / a_K $ を用いた逆正 tangent の恒等式と組み合わせることで、πの計算を高速に収束させる。Kが増加するにつれて、精度が著しく向上し、高精度なπの近似に向けた急速な収束を示している。

ABSTRACT

We present a generalized $ ext{Vi\'ete's}$-like formula for pi with rapid convergence. This formula is based on the arctangent function identity with argument $x=\sqrt{2-{{a}_{K-1}}}/{{a}_{K}}$, where \[ {{a}_{K}}=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}}_{K\,\, ext{square}\,\, ext{roots}} \] is a radical consisting of $K$ nested square roots of twos. The computational test we performed reveals that the generalized $ ext{Vi\'ete's}$-like formula provides a significant improvement in accuracy as the integer $K$ increases.

研究の動機と目的

• 元の公式よりも収束が速い、πのための一般化された Viète の公式を開発すること。
• 計算性能が向上した効率的で正確な無限積の公式の需要に対応すること。
• ネストされたルート $ a_K $ が三角関数の積の公式の収束速度を向上させる役割を明らかにすること。
• 再帰的なルート構造を用いた、高精度なπ近似の計算的に検証可能な手法を提供すること。

提案手法

• K個の平方根を含むネストされたルート $ a_K = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2}}} $ を用いて、近似値の列を定義する。
• 引数 $ x = \sqrt{2 - a_{K-1}} / a_K $ を用いた逆正 tangent の恒等式を適用し、ルートの列と三角関数の恒等式を結びつける。
• ルート $ a_K $ の再帰的構造に基づいて、πの無限積表現を構築し、元の Viète の公式を一般化する。
• Kを増加させ、π近似の精度を測定することで、収束の挙動を計算的に分析する。
• 既知の逆正 tangent とネストされたルートに関する恒等式を活用し、新しい積の公式を導出する。
• 計算によるテストを通じて、Kの増加に伴い精度が顕著に向上することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ネストされたルートを用いて、Vièteの古典的なπの公式を収束を速くする形に一般化できるか？
• RQ2 ネストされた平方根の数 $ K $ を増加させることで、π近似の精度にどのような影響があるか？
• RQ3 引数 $ x = \sqrt{2 - a_{K-1}} / a_K $ を用いた逆正 tangent の恒等式を、πの収束が速い積の公式を体系的に生成するために使用できるか？
• RQ4 提案された公式は、元の Viète の公式や他の既知の無限積のπ近似と比較して、収束速度がどのように異なるか？

主な発見

• ネストされた平方根の数 $ K $ が増加するにつれて、一般化された公式は著しく高い精度を達成する。
• 計算テストにより、この公式の収束速度が元の Viète の公式よりも顕著に速いことが確認された。
• 引数 $ x = \sqrt{2 - a_{K-1}} / a_K $ を用いた逆正 tangent の恒等式を用いることで、πの収束が速い積の公式を体系的に導出できる。
• ネストされたルート構造 $ a_K $ は収束を加速する上で極めて重要な役割を果たし、各段階のネストが精度を向上させる。
• Kを段階的に増加させることによる反復的精錬の手法は、高精度なπの計算に実用的であることが示された。
• 数学的な洗練さを保ちつつ、計算的精度の明確な向上を実現している。