[論文レビュー] An Inversion Formula for Multivariate Power Series

Ural Bekbaev|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、形式的多変数べき級数 $\varphi(x) = x + \text{高次項}$ に対する新しい逆公式を提示する。形式的逆は $\varphi^{-1}(x) = x + \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} \varphi^{\circ k}(x)$ として表され、ここで $\varphi^{\circ k}$ は $k$ 回の合成を表す。導出は形式的べき級数環における行列の対称積と母関数に基づくもので、特徴値がゼロでない体上で有効な非再帰的で組合せ論的な逆公式を確立する。

ABSTRACT

For formal multivariate power series $φ(x)$ an inversion formula of the form $$ φ^{-1}(x)=x +\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{k=0}^m (-1)^k(m k)φ^{\circ k}(x) is offered$$.

研究の動機と目的

• 形式的多変数べき級数 $\varphi(x) = x + \text{高次項}$ に対する閉形式の逆公式を導出すること。
• 新規の対称行列積演算を介して、形式的逆と反復合成との間の関係を確立すること。
• 二項係数と反復合成を用いた非再帰的で組合せ論的な逆級数の表現を提供すること。
• 級数の尾が収束または消える条件を調べることで、多項式写像の逆が多項式である条件を解明すること。

提案手法

• 多重指数でインデックス付けされたブロック行列に対する対称積 $\odot$ を導入し、形式的べき級数への行列乗法の一般化を実現する。
• べき級数 $\varphi$ の行列表現 $M_{\varphi}$ を定義し、その同次成分を多重指数付きブロックで符号化する。
• 行列指数 $e^{\odot A}$ を用いて、$\odot$ に関する行列指数法則でべき級数の合成を表現する。
• 恒等式 $M_{\psi \circ \varphi} = e^{\odot M_{\varphi}} M_{\psi}$ を適用し、合成を行列演算と関連付ける。
• $(e^{\odot M_{\varphi}})^{-1}$ のネウマン級数展開を用いて、反復合成に関する二項型和への逆の導出を行う。
• Mat(F)代数におけるブロック行列方程式を用いて、逆級数の係数の再帰的関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復合成と二項係数のみを用いて、形式的多変数べき級数の閉形式の逆公式を導出可能か？
• RQ2 無限級数 $\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} \varphi^{\circ k}(x)$ が何らかの $m_0$ で終結または消える条件は何か？
• RQ3 多項式写像の形式的逆が多項式写像であるのはいつか、そしてその判定を代数的にどのように行えるか？
• RQ4 対称行列積 $\odot$ は、非結合的だが結合的代数的構造を形式的べき級数にどのように構成可能にするか？

主な発見

• 形式的べき級数 $\varphi(x) = x + \text{高次項}$ の逆は明示的に $\varphi^{-1}(x) = x + \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} \varphi^{\circ k}(x)$ で与えられる。
• この公式は対称積 $\odot$ と行列指数 $e^{\odot M_{\varphi}}$ を用いて導出され、$M_{\varphi}$ は級数の係数を符号化している。
• 任意の特徴値がゼロの体上の形式的べき級数環において、逆級数は存在し一意的である。
• もし $\sum_{m=m_0}^{\infty} \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} \varphi^{\circ k}(x) = 0$ が成り立つならば、$\varphi^{-1}(x)$ は多項式写像である。
• 再帰的関係 $N^m_1 = -\sum_{k=1}^{m-1} \left( \sum_{|\alpha|=k, \|\alpha\|=m} \frac{(M^1_1)^{\odot \alpha_1} \odot \cdots}{\alpha!} \right) N^k_1$ により、逆級数の係数が計算可能である。
• 多項式写像のうち逆写像が多項式であるもの全体の集合は合成に関して群をなし、この公式はその群への属するための基準を提供する。