[論文レビュー] A Geometric Action for the Courant Bracket

Xiaolong Liu, Leopoldo A. Pando Zayas+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、余随伴軌道上のキリロフ＝コスタントシンプレクティック形式を用いて、コーセント・ブラケットの幾何的作用を構築する。p=0のときポリヤコフの2次元量子重力の一般化であり、ディラック構造を介して高次のp-形式へ拡張される。主な結果は、一般化された複素構造およびケーラー構造をコーセント・アレブロイドと結びつける統一的な幾何的枠組みであり、WZWおよびバーラソ型モデルに類似した作用が得られ、p≥1のときの軌道上でのケーラー幾何の一般化も含まれる。

ABSTRACT

An important operation in generalized complex geometry is the Courant bracket which extends the Lie bracket that acts only on vectors to a pair given by a vector and a p-form. We explore the possibility of promoting the elements of the Courant bracket to physical fields by constructing a geometric action based on the Kirillov-Kostant symplectic form. For the $p=0$ forms, the action generalizes Polyakov's two-dimensional quantum gravity when viewed as the geometric action for the Virasoro algebra. We show that the geometric action arising from the centrally extended Courant bracket for the vector and zero form pair is similar to the geometric action obtained from the semi-direct product of the Virasoro algebra with a U(1) affine Kac-Moody algebra. For arbitrary $p$ restricted to a Dirac structure, we derived the geometric action and exhibit generalizations for almost complex structures built on the Kirillov-Kostant symplectic form. In the case of p+1 dimensional submanifolds, we also discuss a generalization of a Kahler structure on the orbits.

研究の動機と目的

• コーセント・アレブロイドの双対空間上におけるキリロフ＝コスタンツのシンプレクティック形式に基づき、一般化された複素構造の物理的実現を可能にするコーセント・ブラケットの幾何的作用を構築すること。
• p=0のとき、中心拡大されたコーセント・ブラケットに対するポリヤコフの2次元量子重力作用の一般化を行い、バーラソ代数と関連付けること。
• p>1の形式に対してはディラック構造に制限することで、Dブレーン物理学に関連する高次のp-形式場のための幾何的作用を定式化すること。
• T⊕∧pT*の軌道上にp-拡張された一般化された複素構造およびケーラー構造を、シンプレクティック幾何とホッジ双対性を用いて構成すること。
• 幾何的作用とストリング理論におけるフラックスコンパクト化との関係を検討し、特にB場とDブレーンのフラックスと関連付けること。

提案手法

• コーセント・アレブロイド T⊕∧pT* の双対空間上に、シンプレクティック2形式 ΩX̃ をコadjoint軌道法を用いて構成し、ΩX̃ の積分により幾何的作用を定義する。
• 中心拡大されたコーセント・ブラケットにキリロフ＝コスタンツ構成を適用し、p=0のときWZWモデルおよび2次元ポリヤコフ作用に類似した幾何的作用を得る。
• iXξ=0 を満たすディラック構造に制限することで、シンプレクティック形式の閉じ性とジャコビ恒等式を保証し、整合的な幾何的作用を実現する。
• p≥1のとき、E_p = T⊕∧pT* の軌道上に、シンプレクティック形式とホッジ双対性を用いてp-形式とp+1次元部分多様体上のベクトル場を関連付ける一般化されたケーラー構造を導出する。
• p-拡張された一般化された複素構造の2通りの構成を提示する：1つは双対を含む空間の倍加によるもので、もう1つはホッジスターを用いてp-形式とp+1次元多様体上のベクトル場を関連付けるものである。
• p=0およびp=1の作用の構造を解析し、バーラソ代数とU(1)アフィンカク＝ムーディ代数の半単純積に類似していることを示し、作用が統合されたフラックスを符号化していると解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、余随伴軌道上のキリロフ＝コスタンツのシンプレクティック形式を用いて、コーセント・ブラケットを物理的幾何的作用に一般化できるか？
• RQ2 p=0のとき、中心拡大されたコーセント・ブラケットに対する幾何的作用は何か？ そして、それがどのようにポリヤコフの2次元量子重力の一般化となるか？
• RQ3 p>1の形式に対して、幾何的作用を一貫して定義するにはどうすればよいか？ また、シンプレクティック形式の閉じ性を保証するためにディラック構造は果たすどのような役割を果たすか？
• RQ4 p≥1のとき、T⊕∧pT* の軌道上に一般化されたケーラー幾何を構築できるか？ そして、シンプレクティック構造とホッジ双対性とはどのように関係するか？
• RQ5 幾何的作用の物理的解釈は、フラックス、Dブレーン、ストリング理論におけるB場との関連性を含めて、どのように得られるか？

主な発見

• p=0のとき、中心拡大されたコーセント・ブラケットの余随伴軌道上での幾何的作用は、ポリヤコフの2次元量子重力の一般化であり、バーラソ代数とU(1)アフィンカク＝ムーディ代数の半単純積に類似した作用である。
• p=0の作用は、バーラソ代数の中心拡大を幾何的に実現するリウヴィル作用の一般化であることが示された。
• 任意のpに対して、iXξ=0 を満たすディラック構造に制限することで、幾何的作用が構築され、ジャコビ恒等式およびキリロフ＝コスタンツ2形式の閉じ性が保証される。
• p≥1のとき、E_p = T⊕∧pT* の軌道上に、p+1次元部分多様体に制限することで、一般化されたケーラー構造が定義され、ケーラー幾何の概念が高次のp-形式へ拡張される。
• 2通りのp-拡張された一般化された複素構造の構成が提示された：1つは双対を含む空間の倍加によるもので、もう1つはホッジスターを用いてp-形式とp+1次元多様体上のベクトル場を関連付けるものである。
• p=1の幾何的作用は、荷電p-ブレーンに類似しており、統合フラックスの自然な解釈を示唆し、Dブレーン物理学およびストリング理論におけるモジュライ安定化への関連性が示唆される。