[論文レビュー] A geometric characterization of a sharp Hardy inequality

Roger T. Lewis, Junfang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{R}^{n+1}$ 内の $C^2$ 領域の境界への距離関数が、分布的意味での上調和関数であるための必要十分条件が、境界が弱い平均凸性をもつことであることを確立している。この幾何的特徴付けにより、弱い平均凸領域における鋭いハーディー不等式が得られ、鋭い定数 $\left(\frac{p-1}{p}\right)^p$ が達成され、その条件は弱くできない。この結果は、トーラス や最小曲面の摂動を含む、より広い非凸領域のクラスに、既知の凸領域に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the distance function of an open connected set in $\mathbb R^{n+1}$ with a $C^{2}$ boundary is superharmonic in the distribution sense if and only if the boundary is {\em weakly mean convex}. We then prove that Hardy inequalities with a sharp constant hold on {weakly mean convex} $C^{2}$ domains. Moreover, we show that the {weakly mean convexity} condition cannot be weakened. We also prove various improved Hardy inequalities on mean convex domains along the line of Brezis-Marcus \cite{BM}.

研究の動機と目的

• 境界の幾何的条件を同定し、最適定数を伴う鋭いハーディー不等式の成立を保証すること。
• 従来、凸領域でのみ知られていた古典的ハーディー不等式を、より広い非凸領域のクラスに一般化すること。
• 弱い平均凸性が、鋭いハーディー不等式が成立するための最小限の幾何的要件であることを示すこと。
• ブレジス＝マルクスらの結果を拡張し、平均凸領域における改良されたハーディー不等式を提供すること。

提案手法

• 距離関数 $\delta(x)$ が分布的意味で上調和関数であるための必要十分条件が、境界の平均曲率が非負であること（弱い平均凸性）であることを証明すること。
• 分布的上調和性を用いて、定数 $\left(\frac{p-1}{p}\right)^p$ を伴う鋭いハーディー不等式を導出すること。
• 反例の構成により、弱い平均凸性の条件が必要であることを示すこと。平均曲率が負である領域では不等式が成立しない。
• 主結果を応用して、平均凸領域における改良されたハーディー＝ソボレフ不等式を導出し、ハーディー＝ソボレフ＝マズヤの不等式を含む。
• 主な曲率や第二基本形式を用いた微分幾何学的道具を用いて、$\partial\Omega$ 上の平均曲率 $H$ を分析すること。
• 具体的な例（臨界的リングトーラス、高 genus のトーラス、放物面など）で結果を検証し、$H \geq 0$ であり、不等式が成立することを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの幾何的条件が、$C^2$ 領域の境界に対して、定数 $\left(\frac{p-1}{p}\right)^p$ を伴う鋭いハーディー不等式の成立を保証するか？
• RQ2 古典的ハーディー不等式は、凸領域に限らず非凸領域へ拡張可能か？ もしそうなら、どのような幾何的条件下で成立するか？
• RQ3 弱い平均凸性は、鋭いハーディー不等式が成立するための必要十分条件か？
• RQ4 ブレジス＝マルクスの精神に基づく改良ハーディー不等式は、平均凸領域においてどのように振る舞うか？
• RQ5 距離関数の上調和性が、ハーディー型不等式における鋭い定数の特徴付けに果たす役割は何か？

主な発見

• 距離関数 $\delta(x)$ が分布的意味で上調和関数であるための必要十分条件は、境界 $\partial\Omega$ が弱い平均凸性（すなわち $H \geq 0$）をもつことである。
• 任意の弱い平均凸 $C^2$ 領域 $\Omega$ において、定数 $\left(\frac{p-1}{p}\right)^p$ を伴う鋭いハーディー不等式が成立し、凸領域の場合と一致する。
• 弱い平均凸性の条件は鋭いものである：$\partial\Omega$ 上のどこかの点で $H < 0$ であれば、鋭いハーディー不等式は成立しない。
• 臨界的リングトーラス（$R=2$, $r=1$）は $H \geq 0$ を満たし、鋭い定数を達成しており、$\lambda(n,\Omega) = 1$ である。
• 弱い平均凸領域において、改良されたハーディー＝ソボレフ不等式が成立し、ブレジス＝マルクスらの結果を拡張する。
• トーラスの摂動、高 genus の曲面、放物面で囲まれた領域を含む、非自明な位相的性質をもつ非凸領域に対しても、この結果は適用可能である。